Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie eine Verlustfunktion ${\displaystyle L(\cdot$ ;\cdot )} . Es sei

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}$

das Risiko des Punktschätzers ${\displaystyle S}$ an der Stelle ${\displaystyle \vartheta }$, gemessen bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$

Dann heißt ein Schätzer ${\displaystyle S}$ L-unverfälscht, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ gilt:

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)}$   für alle   ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$, näher an dem Wert ${\displaystyle g(\vartheta _{0})}$ als an jedem weiteren Wert ${\displaystyle g(\vartheta )}$.

Beispiele

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.