Dieser Artikel setzt Vorkenntnisse im Bereich Theoretische Informatik und Compilerbau voraus.

Eine LL(k)-Grammatik (im Gegensatz zu LF(k)-Grammatik auch schwache LL(k)-Grammatik) ist eine spezielle kontextfreie Grammatik, welche die Grundlage eines LL(k)-Parsers bildet.

Eine kontextfreie Grammatik heißt LL(k)-Grammatik für eine natürliche Zahl k, wenn jeder Ableitungsschritt eindeutig durch die nächsten k Symbole der Eingabe (Lookahead) bestimmt ist. Das bedeutet, die Frage, welches Nichtterminalsymbol mit welcher Regel als Nächstes expandiert werden soll, kann eindeutig mit Hilfe der nächsten k Symbole der Eingabe bestimmt werden.

Generell gilt, je größer k gewählt wird, umso mächtiger wird die Sprachklasse, wobei die Ausdrucksstärke von kontextfreien Grammatiken nie erreicht wird. Damit gibt es kontextfreie Sprachen, die für kein k von einer LL(k)-Grammatik erzeugt werden.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathrm {LL} (1))\subsetneq {\mathcal {L}}(\mathrm {LL} (2))\subsetneq \dots \subsetneq {\mathcal {L}}(\mathrm {LL} (k))\subsetneq {\mathcal {L}}(\mathrm {LR} (1))={\mathcal {L}}(\mathrm {DPDA} )}$

Dabei steht DPDA für die deterministischen Kellerautomaten. Diese können genau die deterministisch kontextfreien Sprachen erkennen.

Formale Definition LL(k)-Grammatik

Eine kontextfreie Grammatik ${\displaystyle G=(N,\Sigma ,P,S)}$ ist genau dann eine LL(k)-Grammatik, wenn für alle Linksableitungen der Form

${\displaystyle S\Rightarrow _{l}^{*}wA\gamma \Rightarrow _{l}\left\{{\begin{array}{l}w\alpha \gamma \Rightarrow _{l}^{*}wx\\w\beta \gamma \Rightarrow _{l}^{*}wy\end{array}}\right.}$

mit ${\displaystyle \quad (w,x,y\in \Sigma ^{*};\alpha ,\beta ,\gamma \in (N\cup \Sigma )^{*};A\in N)}$ und ${\displaystyle {\mathit {first}}_{k}(x)={\mathit {first}}_{k}(y)^{\,}}$ gilt: ${\displaystyle \alpha =\beta ^{\,}}$

Für die in der Definition benutzte Funktion zur Bestimmung der FIRST-Mengen gilt:

${\displaystyle a\in \Sigma ^{*};|a|\leq k}$	${\displaystyle {\mathit {first}}_{k}\left(a\right)=\{a\}}$
${\displaystyle a\in \Sigma ^{*};|a|>k}$	${\displaystyle {\mathit {first}}_{k}(a)=\{v\in \Sigma ^{*}\mid a=vw;|v|=k\}}$
${\displaystyle A\in (N\cup \Sigma )^{*}\backslash \Sigma ^{*}}$	${\displaystyle {\mathit {first}}_{k}(A)=\{v\in \Sigma ^{*}\mid A\Rightarrow ^{*}w;w\in \Sigma ^{*};{\mathit {first}}_{k}(w)=\{v\}\}}$

Anwendung

Aktuelle LL-Parser benutzen meist nur einen Lookahead von 1. Daher kann in den folgenden Ausführungen ${\displaystyle k=1}$ gesetzt werden.

Bei der praktischen Anwendung ist nur mit großem Aufwand überprüfbar, ob die vorliegende Grammatik die Definition einer LL(k)-Grammatik erfüllt. Es wird stattdessen ein abgewandelter Ansatz benutzt.

Erklärung: Das Startsymbol der kontextfreien Grammatik ${\displaystyle S}$ wurde (in eventuell mehreren Schritten) nach ${\displaystyle wA^{\,}\alpha }$ expandiert. Gemäß der Linksableitung wird das Nichtterminalsymbol ${\displaystyle A}$ als Nächstes ersetzt. Dazu gibt es in der kontextfreien Grammatik aber zwei verschiedene Regeln; ${\displaystyle A\to \beta }$ und ${\displaystyle A\to \gamma }$. Die Frage, mit welcher Regel ${\displaystyle A}$ expandiert wird, bestimmt sich aus der Berechnung von ${\displaystyle first_{k}\left(\beta \alpha \right)}$ und ${\displaystyle first_{k}\left(\gamma \alpha \right)}$. Um die Frage eindeutig beantworten zu können, müssen beide Mengen disjunkt sein.

Im Allgemeinen hängt ${\displaystyle first_{k}\left(\beta \alpha \right)}$ aber vom Rechtskontext ${\displaystyle \alpha }$ ab (wenn ${\displaystyle \beta \Rightarrow ^{*}\epsilon }$). Das Ziel ist die Bestimmung von ${\displaystyle first_{k}\left(\beta \alpha \right)}$ nur aus den Produktionen, d. h. aus ${\displaystyle \beta }$ und aus den Strings, die einem Vorkommen von ${\displaystyle A}$ folgen können. Für diesen Zweck wird die Funktion ${\displaystyle follow_{k}\left(A\right)}$ definiert, die die Menge aller ${\displaystyle A}$ folgenden Symbole berechnet.

Damit kann die eingangs geforderte Bedingung umformuliert werden:

Achtung: Dieser Satz kann auf Fälle ${\displaystyle k>1}$ nicht angewandt werden.

Die zu einer Produktion ${\displaystyle A\to \beta }$ berechnete Menge ${\displaystyle la(A,\beta )=first_{1}\left(\{\beta \}follow_{1}(A)\right)}$ wird als Lookahead-Menge bezeichnet.

Beispiel

Für die folgende Grammatik ${\displaystyle G}$ wird geprüft, ob sie eine LL(1)-Grammatik ist. Dazu müssen die Lookahead-Mengen aller Produktionen mit gleichen linken Regelseiten disjunkt sein.

${\displaystyle G=\left(\{E,E',T,T',F\},\{\epsilon ,a,(,),+,*\},P,E\right)}$ und die Menge der Produktionen ist:

${\displaystyle E\to TE'}$

${\displaystyle E'\to +TE'}$

${\displaystyle E'\to \epsilon }$

${\displaystyle T\to FT'}$

${\displaystyle T'\to *FT'}$

${\displaystyle T'\to \epsilon }$

${\displaystyle F\to (E)}$

${\displaystyle F\to a}$

Zunächst werden die first- bzw. follow-Mengen der Nichtterminalsymbole bestimmt, da diese für die Berechnung der Lookahead-Mengen nötig sind.

	E	E'	T	T'	F
${\displaystyle first_{1}}$	${\displaystyle \left\{(,a\right\}}$	${\displaystyle \left\{+,\epsilon \right\}}$	${\displaystyle \left\{(,a\right\}}$	${\displaystyle \left\{*,\epsilon \right\}}$	${\displaystyle \left\{(,a\right\}}$
${\displaystyle follow_{1}}$	${\displaystyle \left\{)\right\}}$	${\displaystyle \left\{\epsilon ,)\right\}}$	${\displaystyle \left\{+,\epsilon ,)\right\}}$	${\displaystyle \left\{+,\epsilon ,)\right\}}$	${\displaystyle \left\{*,+,\epsilon ,)\right\}}$

Es folgt der Vergleich der Lookahead-Mengen für alle Produktionen mit gleichen linken Regelseiten.

Als erstes für die beiden Produktionen ${\displaystyle E'\to +TE'}$ und ${\displaystyle E'\to \epsilon }$

${\displaystyle la(E',+TE')\cap la(E',\epsilon )=first_{1}(\{+TE'\}follow_{1}(E'))\cap first_{1}(\{\epsilon \}follow_{1}(E'))=\{+\}\cap \{\epsilon ,)\}=\emptyset }$

Als Nächstes für die beiden Produktionen ${\displaystyle T'\to *FT'}$ und ${\displaystyle T'\to \epsilon }$

${\displaystyle la(T',*FT')\cap la(T',\epsilon )=first_{1}(\{*FT'\}follow_{1}(T'))\cap first_{1}(\{\epsilon \}follow_{1}(T'))=\{*\}\cap \{+,\epsilon ,)\}=\emptyset }$

Als letztes für die beiden Produktionen ${\displaystyle F\to (E)}$ und ${\displaystyle F\to a}$

${\displaystyle la(F,(E))\cap la(F,a)=first_{1}(\{(E)\}follow_{1}(F))\cap first_{1}(\{a\}follow_{1}(F))=\{(\}\cap \{a\}=\emptyset }$

Da alle betrachteten Schnittmengen leer sind, handelt es sich bei der Grammatik ${\displaystyle G}$ um eine LL(1)-Grammatik.

Siehe auch

• LR(k)-Grammatik
• LR-Parser

Literatur

• Donald E. Knuth: Top-down syntax analysis. In: Acta Informatica 1, 1971, ISSN 0001-5903, S. 79–110, (Neuabdruck einer erweiterten Fassung in: Donald E. Knuth: Selected Papers on Computer Languages. Center for the Study of Language and Information, Stanford CA 2003, ISBN 1-575-86381-2, (CSLI lecture notes 139), Kapitel 14).
• LR(k)-Analyse für Pragmatiker von Andreas Kunert