Axiomatische Definition

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

${\displaystyle d\colon \{(f,\Omega ,y)\ |\ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {offen,beschr{\ddot {a}}nkt} \ ,\ f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\textrm {stetig}}\ ,\ y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )\}\rightarrow \mathbb {Z} }$

mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle d(\mathrm {id} _{\overline {\Omega }},\Omega ,y)=1}$ für alle ${\displaystyle y\in \Omega }$.
• Zerlegungseigenschaft:

${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(f,\Omega _{1},y)+d(f,\Omega _{2},y)}$, falls ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ disjunkte offene Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$ sind, so dass ${\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}$.

• Homotopieinvarianz:

${\displaystyle t\mapsto d(F(t,\cdot ),\Omega ,y(t))}$ ist bezüglich ${\displaystyle t\in [0,1]}$ konstant, falls ${\displaystyle F\colon [0,1]\times {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle y\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ stetig sind mit ${\displaystyle y(t)\not =F(t,x)}$ für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$ und ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$.

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades

• Ist ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)\neq 0}$, so ist die Gleichung ${\displaystyle f(x)=y}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ lösbar.

• Ist ${\displaystyle g\in C({\bar {\Omega }})}$ mit
  ${\displaystyle \max\{|f(x)-g(x)|\,\colon x\in \partial \Omega \}<\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}$
  so gilt ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(g,\Omega ,y).}$
  Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf ${\displaystyle \partial \Omega }$ eindeutig festgelegt.

• Liegen ${\displaystyle y_{1}}$ und ${\displaystyle y_{2}}$ in derselben Zusammenhangskomponente ${\displaystyle Z}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}$, so gilt ${\displaystyle d(f,\Omega ,y_{1})=d(f,\Omega ,y_{2}).}$
  Man schreibt daher auch kurz ${\displaystyle d(f,\Omega ,Z)}$ für ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}$, um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.

• Seien ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ stetig und ${\displaystyle K_{i}}$ die beschränkten Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}$ sowie ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus (g\circ f)(\partial \Omega )}$, dann gilt die leraysche Produktformel
  ${\displaystyle d(g\circ f,\Omega ,y)=\sum _{i}d(f,\Omega ,K_{i})\cdot d(g,K_{i},y),}$
  worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

Darstellungen des Abbildungsgrades

• Falls ${\displaystyle f}$ zusätzlich auf ${\displaystyle \Omega }$ stetig differenzierbar ist und alle Punkte in ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix ${\displaystyle J(f)(x)}$ ist in diesen Punkten ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ nicht null, so gilt
  ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)\,.}$
  Ist ${\displaystyle f}$ nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie ${\displaystyle f}$ hat.
• Sei ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ wieder stetig auf ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ und stetig differenzierbar auf ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle y\notin f(\partial \Omega )}$ kein kritischer Punkt. Sei außerdem ${\displaystyle (\phi _{\epsilon })_{\epsilon >0}}$ eine Schar stetiger Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{\epsilon })\subset {\overline {K_{\epsilon }(0)}}}$ und ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{\epsilon }(x)\mathrm {d} x=1}$ für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ wählen, hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {K_{\epsilon }(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ den abgeschlossenen Ball vom Radius ${\displaystyle \epsilon }$ um Null. Dann existiert ein ${\displaystyle \epsilon _{0}(f,y)}$, so dass die Integralformel
  ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\int _{\Omega }\phi _{\epsilon }(f(x)-y)J(f)(x)\mathrm {d} x}$
  für alle ${\displaystyle \epsilon \geq \epsilon _{0}(f,y)}$ gilt.

Umlaufzahl

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl ${\displaystyle \operatorname {ind} }$. Identifiziert man ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }$ kann man als stetiges Bild von ${\displaystyle \mathbb {S} (0)}$ verstehen. Mit ${\displaystyle \mathbb {S} (0)\subset \mathbb {C} }$ wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} (0)\to \operatorname {Bild} (\gamma )}$. Ist nun ${\displaystyle a\notin \gamma =f(\mathbb {S} (0))}$, so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck ${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)}$ für alle stetigen Fortsetzungen von ${\displaystyle f}$ dieselbe Zahl. Es gilt nun

${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(S_{x}^{+})}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(\mathbb {S} (0))}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}=\operatorname {ind} (f(S),a),}$

hierbei bezeichnet ${\displaystyle S_{x}^{+}}$ einen genügend kleinen Kreisring um ${\displaystyle x}$. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Kompakte Störungen der Identität

Seien ${\displaystyle X,Y}$ Banachräume und ${\displaystyle M}$ eine Teilmenge des Banachraums ${\displaystyle X}$. Eine Funktion ${\displaystyle K\colon M\rightarrow Y}$ heißt kompakter Operator, falls

• ${\displaystyle K}$ stetig ist und, falls
• ${\displaystyle K}$ beschränkte Mengen ${\displaystyle B\subset M}$ auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten, ${\displaystyle {\overline {T(B)}}}$ ist eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle Y}$.

Ein Operator ${\displaystyle F\colon M\subset X\rightarrow X}$, der sich als ${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K}$ mit einem kompakten Operator ${\displaystyle K}$ darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Kompakte Homotopie

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei ${\displaystyle M\subset X}$ offen und beschränkt und ${\displaystyle K\colon t\mapsto K(t)}$ für ${\displaystyle t\in [0,1]}$ eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren ${\displaystyle K(t)\colon M\subset X\rightarrow X}$. Diese operatorwertige Funktion ${\displaystyle K}$ heißt kompakte Homotopie auf ${\displaystyle M}$, falls zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ existiert, sodass

${\displaystyle \|K(t_{1})(x)-K(t_{2})(x)\|_{X}\leq \varepsilon }$

für alle ${\displaystyle x\in M}$ und ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [0,1]}$ mit ${\displaystyle |t_{1}-t_{2}|<\delta }$ gilt.

Definition

Sei ${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K\colon {\overline {M}}\subset X\rightarrow X}$ eine kompakte Störung der Identität, ${\displaystyle M\subset X}$ offen und beschränkt und ${\displaystyle y\not \in F(\partial M)}$. Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl ${\displaystyle d(F,M,y)\in \mathbb {Z} }$, so dass folgende Eigenschaften gelten:

• Ist ${\displaystyle d(F,M,y)\neq 0}$, dann ist die Gleichung ${\displaystyle F(x)=y}$ lösbar.

• Homotopieinvarianz: Ist ${\displaystyle K}$ eine kompakte Homotopie auf ${\displaystyle {\overline {M}}}$ mit ${\displaystyle K(t)(x)\neq x}$ für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$ und ${\displaystyle x\in \partial M}$, so ist der Abbildungsgrad ${\displaystyle d((\operatorname {Id} -K)(t),M,y)}$ unabhängig von ${\displaystyle t\in [0,1]}$.

Beispiel

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung ${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}$ eine Lösung in ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass ${\displaystyle F_{0}}$ ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass ${\displaystyle x-F_{0}(x)\neq y}$ auf ${\displaystyle \partial \Omega }$ gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle H(1)=F_{0}}$ und ${\displaystyle x-H(t)(x)\neq y}$ für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$ und ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad ${\displaystyle d(I-H(0),\Omega ,y)\neq 0}$ nachweisen kann. Daraus folgt nämlich ${\displaystyle d(I-H(t),\Omega ,y)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$ und somit die Existenz eines ${\displaystyle x\in \Omega }$ mit ${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}$.

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

${\displaystyle x'=f(t,x)}$

für ${\displaystyle t\in [0,a]}$ und ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls ${\displaystyle f\colon [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ stetig ist und falls ${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)}$ auf ${\displaystyle [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}}$ für ein geeignetes ${\displaystyle B\geq 0}$ gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau }$

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man ${\displaystyle X=C([0,a])}$ als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall ${\displaystyle [0,a]}$ mit der Maximumsnorm ${\displaystyle \textstyle \|x\|=\max _{t\in [0,a]}|x(t)|}$. Außerdem setzt man

${\displaystyle F_{0}(x)(t):=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau \,.}$

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist ${\displaystyle F_{0}}$ ein kompakter Operator und ${\displaystyle H(t)(x):=t\cdot F_{0}(x)}$ eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von ${\displaystyle x-F_{0}(x)=0}$ untersucht wird, wird ${\displaystyle y=0}$ gesetzt. Da ${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)}$ vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, ${\displaystyle \Omega$ :=B_{r}(0)} mit einem ${\displaystyle r>(|x_{0}|+B\cdot a)e^{-Ba}}$ zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

${\displaystyle d(I-F_{0},B_{r}(0),y)=d(I,B_{r}(0),y)=1\,.}$

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.