Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Bedeutung

Der metrische Tensor ${\displaystyle g}$ über einem affinen Punktraum ${\displaystyle A}$ mit reellem Verschiebungsvektorraum ${\displaystyle V}$ ist eine Abbildung von ${\displaystyle A}$ in den Raum der Skalarprodukte auf ${\displaystyle V}$. Das heißt, für jeden Punkt ${\displaystyle P\in A}$ ist

${\displaystyle g(P)\colon V\times V\to \mathbb {R} }$

eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass ${\displaystyle g(P)}$ für einige oder alle Punkte ${\displaystyle P}$ nur positiv semidefinit ist, d. h. die Forderung der Definitheit

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)>0}$ für alle ${\displaystyle 0\neq {\vec {x}}\in V}$

wird abgeschwächt zu

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$.

Ein solcher Tensor ${\displaystyle g}$ heißt dann pseudometrischer Tensor.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt ${\displaystyle P}$ abhängige) Länge (Norm) ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{P}}$ auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{P}={\sqrt {g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)}}}$

Analog zum Standardskalarprodukt ist der Winkel ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ im Punkt ${\displaystyle P}$ zwischen zwei Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in V}$ definiert durch:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g(P)({\vec {x}},{\vec {y}})}{{\sqrt {g(P)({\vec {x}},{\vec {x}})}}\,{\sqrt {g(P)({\vec {y}},{\vec {y}})}}}}}$

Koordinatendarstellung

Wenn ein lokales Koordinatensystem ${\displaystyle (x^{i})}$ auf ${\displaystyle V}$ mit Basis ${\displaystyle (e_{i})}$ aus ${\displaystyle V}$ gewählt wird, schreibt man die Komponenten von ${\displaystyle g}$ als ${\displaystyle g_{ij}(P)=g(P)(e_{i},e_{j})}$. Unter Verwendung der einsteinschen Summenkonvention ist dann für die Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}{\vec {e}}_{i}}$ und ${\displaystyle {\vec {y}}=y^{i}{\vec {e}}_{i}}$

${\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {y}}\right)=g_{ij}(P)\,x^{i}\,y^{j}}$.

Im Sinne der Kategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen ${\displaystyle \varphi \colon (A,V)\to (B,W)}$ natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf ${\displaystyle (B,W)}$ ein metrischer Tensor auf ${\displaystyle (A,V)}$ konstruiert werden kann,

${\displaystyle (\varphi ^{*}g)(P)({\vec {x}},{\vec {y}})=g{\bigl (}\varphi (P){\bigr )}{\Bigl (}\varphi _{*}({\vec {x}}),\varphi _{*}({\vec {y}}){\Bigr )}}$.

In der Physik wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung ${\displaystyle g_{ij}}$ als kovariant bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als

${\displaystyle x^{k}=A^{k}{}_{i}\;{\tilde {x}}^{i}}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {x}}^{i}=(A^{-1})^{i}{}_{k}\;x^{k}}$

gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}=A^{k}{}_{i}\;e_{k}=(A^{T})_{i}{}^{k}\;e_{k}}$

und es gilt für den metrischen Tensor

${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}=g(P)({\tilde {e}}_{i},\,{\tilde {e}}_{j})=(A^{T})_{i}{}^{k}\,(A^{T})_{j}{}^{l}\;g_{kl}.}$

Länge von Kurven

Ist eine differenzierbare Kurve ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to A}$ im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ einen Tangentialvektor

${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\dot {\gamma }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma (t)}$.

Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge

${\displaystyle L_{[a,b]}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}{\Bigl (}\,{\vec {x}}(t),\,{\vec {x}}(t)\,{\Bigr )}}}\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{\gamma (t)}\,\mathrm {d} t}$

zuordnen.

Induzierter Metriktensor

Hat man eine ${\displaystyle p}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit eines riemannschen Raumes mit der Metrik ${\displaystyle (g_{ij})}$, die mittels der Parameterdarstellung

${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t^{1},t^{2},\dots ,t^{p}),\qquad i=1,\dots ,n}$

gegeben ist, wird eine Metrik ${\displaystyle (a_{\alpha \beta })}$ induziert. Die ${\displaystyle t^{\alpha }}$ nennt man induzierte Koordinaten. Betrachtet man eine Kurve

${\displaystyle t^{\alpha }=t^{\alpha }(t),\qquad a\leq t\leq b,\qquad \alpha =1,\dots ,p}$

auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der Kettenregel

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}$.

Die Größe

${\displaystyle a_{\alpha \beta }:=g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}}$

ist der induzierte Metriktensor. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {a_{\alpha \beta }{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}$.

Beispiele

Euklidischer Raum

In einem euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$

gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt ${\displaystyle \textstyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i}}$ gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen. Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten ${\displaystyle g_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij},}$ wobei ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ die Vektoren der Standardbasis sind. Für beliebige Vektoren ${\displaystyle x=x^{i}e_{i}}$ und ${\displaystyle y=y^{j}e_{j}}$ des euklidischen Raums gilt

${\displaystyle g_{ij}\,x^{i}y^{j}=\delta _{ij}x^{i}y^{j}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i}.}$

Hier wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Für die Kurvenlänge

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left(\mathrm {d} x\right)^{2}}}}$

und den Winkel

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \,\mathbf {v} }{|\mathbf {u} |\cdot |\mathbf {v} |}}}$

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix ${\displaystyle J}$ der Einbettung als

${\displaystyle g=J^{T}J.}$

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:

• In Polarkoordinaten ${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )}$:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$, bzw.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}}$

• In Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\varphi ,z)}$:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$, bzw.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} z^{2}}$

• In Kugelkoordinaten ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\varphi )}$:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&(r\sin \theta )^{2}\end{bmatrix}}}$, bzw.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \varphi ^{2}}$

Herleitung für Kugelkoordinaten ${\displaystyle \quad \longrightarrow }$

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Die Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung:

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}}$.

Die lokalen Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}_{3}}$ verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten ${\displaystyle r,\theta }$ und ${\displaystyle \varphi }$. Also gilt:

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}$.

Die Komponenten des metrischen Tensors ${\displaystyle g=(g_{ij})}$ sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren:

${\displaystyle g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2,3\}}$.

Die Rechnung ergibt:

${\displaystyle g_{11}=1,\quad g_{22}=r^{2},\quad und\quad g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta }$.

Die übrigen Skalarprodukte sind null. Dies bedeutet, dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen: die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem.

Für das Linienelement ergibt sich somit

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \varphi ^{2}}$.

Die Herleitungen für die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend.

Literatur

• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-94260-0. 
• Chris Isham: Modern Differential Geometry for Physicists. Allied Publishers, 2002, ISBN 81-7764-316-9. 
• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7.