Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung von Ensembles physikalischer Systeme. Die Gleichung gehört in den Bereich der klassischen statistischen Mechanik, es gibt aber auch ein Analogon in der Quantenmechanik. Die Gleichung der Quantenmechanik ist die Von-Neumann-Gleichung.

Die Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik ist eng verwandt mit dem Satz von Liouville und daraus herleitbar.

Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik

In der statistischen Physik beschreibt man ein Ensemble von Instanzen eines physikalischen Systems durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle \rho \left(q_{i},p_{i},t\right)}$ der Systempunkte der System-Instanzen im Phasenraum (Phasenraumdichte). Hierbei steht ${\displaystyle t}$ für die Zeit, und ${\displaystyle q_{i}}$ und ${\displaystyle p_{i}}$ sind die ${\displaystyle N}$ kanonischen Koordinaten und Impulse des Systems. Die Liouville-Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)}$

liefert die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte an einer gegebenen Stelle im Phasenraum als Funktion der Zeit. Da der Fluss der Systempunkte im Phasenraum entsprechend den hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch das Vektorfeld ${\displaystyle \left({\dot {q}}_{i},{\dot {p}}_{i}\right)=\left(\partial H/\partial p_{i},-\partial H/\partial q_{i}\right)}$ gegeben ist, schreibt man die Liouville-Gleichung gewöhnlich in der Form

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\left\{H,\rho \right\}.}$

Die geschweifte Klammer ${\displaystyle \{.,.\}}$ ist dabei eine Poisson-Klammer, ${\displaystyle H}$ ist die Hamilton-Funktion des Systems.

Bei Einführung des Liouvilleoperators

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}}$

ergibt sich eine dritte Schreibweise

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{L}\rho }$.

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]}$.

Hier bezeichnet

• ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit
• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle \rho }$ die Dichtematrix
• ${\displaystyle H}$ den Hamilton-Operator
• die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator ${\displaystyle L}$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]}$

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=L\rho }$

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

${\displaystyle \lim \limits _{\hbar \rightarrow 0}~{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]=\{{A}_{w},{B}_{w}\}}$

Literatur

• Franz Schwabl: Statistische Mechanik. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20360-5.
• Harald J.W. Müller-Kirsten: Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2012, ISBN 978-981-4397-73-5, S. 29–40.
• Harald J.W. Müller-Kirsten: Basics of Statistical Physics. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2013, ISBN 978-981-4449-53-3, Kapitel 3.