Eine lokal proendliche Gruppe ist eine topologische Gruppe, die eine proendliche offene Untergruppe hat. Für lokal proendliche Gruppen können glatte Darstellungen definiert werden.

Beispiele

• Jede proendliche Gruppe ist lokal proendlich.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein ${\displaystyle p}$-adischer lokaler Körper, so ist die Weil-Gruppe ${\displaystyle W_{K}}$ lokal proendlich. Eine proendliche offene Untergruppe ist durch die Trägheitsgruppe ${\displaystyle I_{K}}$ gegeben.
• Die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ ist lokal proendlich. Eine proendliche offene Untergruppe ist durch ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ gegeben.
• Ist allgemein ${\displaystyle G}$ eine lineare algebraische Gruppe über einem ${\displaystyle p}$-adischen lokalen Körper ${\displaystyle F}$, so ist ${\displaystyle G(F)}$ lokal proendlich. Für geeignetes ${\displaystyle n}$ kann ${\displaystyle G}$ als abgeschlossene Untergruppe von ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ aufgefasst werden.

Referenzen

• Bushnell-Henniart: The local Langlands conjecture for GL(2) (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Band 335). Springer-Verlag, Berlin, New York 2006, ISBN 978-3-540-31486-8, doi:10.1007/3-540-31511-X.