Banachalgebren

Die bekanntesten Beispiele sind normierte Algebren, speziell Banachalgebren. Insbesondere für letztere wurde eine umfangreiche Theorie entwickelt. Wichtige Spezialfälle sind C*-Algebren, insbesondere Von-Neumann-Algebren, und Gruppenalgebren ${\displaystyle L^{1}(G)}$ in der harmonischen Analyse.

Fréchet-Algebren

Hierbei handelt es sich um Algebren, die bezüglich einer Folge ${\displaystyle (p_{n})_{n}}$ submultiplikativer Halbnormen einen Fréchet-Raum bilden. Die Submultiplikativität der Halbnormen sichert die Stetigkeit der Multiplikation.

Die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra ${\displaystyle C(X)}$ aller stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ auf einem separablen, lokalkompakten Hausdorffraums ${\displaystyle X}$ wird zu einer Fréchet-Algebra, wenn die Topologie durch die Halbnormen

${\displaystyle \textstyle p_{n}(f):=\sup _{x\in K_{n}}|f(x)|}$

definiert, wobei ${\displaystyle K_{n}}$ eine Folge kompakter Mengen ${\displaystyle K_{n}\subset X}$ ist, für die ${\displaystyle K_{n}}$ im Inneren von ${\displaystyle K_{n+1}}$ liegt und die ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }K_{n}}$ erfüllen. ${\displaystyle C(X)}$ trägt dann die Topologie der kompakten Konvergenz und wird deshalb auch mit ${\displaystyle C_{c}(X)}$ bezeichnet.

Ist speziell ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Menge, so bildet die Algebra ${\displaystyle H(X)}$ der holomorphen Funktionen eine Unter-Fréchet-Algebra von ${\displaystyle C_{c}(X)}$. Diese Algebren sind nicht normierbar, also insbesondere keine Banachalgebren, sie spielen in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher eine Rolle.

LMC-Algebren

Eine LMC-Algebra, oder auch lokal multiplikativ-konvexe Algebra, ist eine Algebra mit einer lokalkonvexen Topologie, die von einer Familie submultiplikativer Halbnormen definiert wird. Die Submultiplikativität sichert die Stetigkeit der Multiplikation. Die vollständigen LMC-Algebren nennt man auch Arens-Michael-Algebren, sie können mittels der Arens-Michael-Zerlegung untersucht werden.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle C(X)}$ die ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {K} }$ mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Diese wird von der Familie der submultiplikativen Halbnormen ${\displaystyle p_{x}(f):=|f(x)|}$, wobei ${\displaystyle x\in X}$, definiert. Ist ${\displaystyle X}$ überabzählbar, so ist ${\displaystyle C(X)}$ keine Fréchet-Algebra.

Lokalkonvexe Algebren

Eine topologische Algebra heißt lokalkonvexe Algebra, wenn ihre Topologie lokalkonvex ist. Definitionsgemäß sind LMC-Algebren lokalkonvex, aber die Topologie einer lokalkonvexen Algebra wird nicht zwingend von einer Familie submultiplikativer Halbnormen erzeugt.

Als Beispiel betrachten wir die Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$, den Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$. Wir definieren für ${\displaystyle n\geq 1}$ Funktionen

${\displaystyle w_{n}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},\,w_{n}(k)={\begin{cases}(1-k)^{n(1-k)}&{\text{falls }}k\leq -1\\1&{\text{falls }}k=0\\(1+k)^{-(k+1)/n}&{\text{falls }}k\geq 1\end{cases}}}$

Jedes Element ${\displaystyle f\in \mathbb {C} (t)}$ kann als Funktion einer komplexen Variablen aufgefasst werden und hat als solche eine Laurent-Entwicklung ${\displaystyle \textstyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}t^{k}}$. Definiere nun die Halbnorm ${\displaystyle p_{n}}$ auf ${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$ durch

${\displaystyle \textstyle p_{n}(f):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|a_{k}|w_{n}(k),\quad {\mbox{falls}}\quad f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}t^{k}}$.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle (p_{n})_{n}}$ eine lokalkonvexe Algebra ist, die keine LMC-Algebra ist.

Q-Algebren

Eine topologische Algebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement heißt Q-Algebra, wenn die Menge ${\displaystyle A^{-1}}$ der invertierbaren Elemente offen ist. Eine topologische Algebra mit Einselement ist genau dann eine Q-Algebra, wenn das Innere von ${\displaystyle A^{-1}}$ nicht leer ist. Das Spektrum eines Elements ${\displaystyle a}$ einer Q-Algebra, das heißt die Menge ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C}$ ;\,\lambda \cdot 1-a\notin A^{-1}\}\subset \mathbb {C} } , ist kompakt.

Jede Banachalgebra ist eine Q-Algebra, die Fréchet-Algebra ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$ ist keine Q-Algebra.

Algebren mit stetigen Inversen

Ist in einer topologischen Algebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement die Abbildung ${\displaystyle A^{-1}\rightarrow A^{-1},\,x\rightarrow x^{-1}}$ stetig, so sagt man, ${\displaystyle A}$ sei eine Algebra mit stetigen Inversen. Das obige Beispiel ${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$ einer lokalkonvexen Algebra hat keine stetigen Inversen. Man kann mittels der Arens-Michael-Zerlegung zeigen, dass LMC-Algebren stetige Inversen haben.