Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt. Sie ist nach den beiden Mathematikern Édouard Lucas und Robert Daniel Carmichael benannt.

Definition

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• ${\displaystyle n}$ ist eine ungerade Zahl
• ${\displaystyle n}$ ist quadratfrei
• ${\displaystyle n}$ besitzt mindestens 3 Primteiler
• Für jeden Primteiler ${\displaystyle p}$ der Zahl ${\displaystyle n}$ gilt:

${\displaystyle p+1}$ teilt ${\displaystyle n+1}$

Würde die Zahl ${\displaystyle n}$ nicht ungerade und quadratfrei sein müssen, dann wären Kubikzahlen von Primzahlen wie zum Beispiel ${\displaystyle 2^{3}=8}$ oder ${\displaystyle 3^{3}=27}$ triviale Lucas-Carmichael-Zahlen, weil für jede Kubikzahl ${\displaystyle n=p^{3}}$ mit den drei Teilern ${\displaystyle p}$ wäre ${\displaystyle p+1}$ immer ein Teiler von ${\displaystyle n+1=p^{3}+1=(p+1)\cdot (p^{2}-p+1)}$.

Beispiel

399 = 3 · 7 · 19 und

(3+1) = 4 teilt 400 = (399+1)

(7+1) = 8 teilt 400 = (399+1)

(19+1) = 20 teilt 400 = (399+1)

Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen

Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit vier Primfaktoren ist 8.855 = 5 · 7 · 11 · 23.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588.455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sechs Primfaktoren ist 139.501.439 = 7 · 11 · 17 · 19 · 71 · 79.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sieben Primfaktoren ist 3.512.071.871 = 7 · 11 · 17 · 23 · 31 · 53 · 71.

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit acht Primfaktoren ist 199.195.047.359 = 7 · 11 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 · 239.

Eigenschaften

• Aufgrund der Identität ${\displaystyle n+1=-{\frac {n}{p}}+1+(p+1){\frac {n}{p}}}$ gilt für jeden Primteiler ${\displaystyle p}$ einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n+1\equiv -{\frac {n}{p}}+1\ mod\ p+1}$.

Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl ${\displaystyle n}$ genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: ${\displaystyle p+1}$ teilt ${\displaystyle {\frac {n}{p}}-1}$.

• Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen.
• Lucas-Carmichael-Zahlen sind keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen.
• Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.

Weblinks

• Lucas-Carmichael number. In: PlanetMath. (englisch)