Herleitung

Es sei ${\displaystyle M_{\mathrm {G} }\ }$ die Mantelfläche des ganzen Kegels, ${\displaystyle M_{\mathrm {H} }\ }$ die Mantelfläche vom kleinen Kegel und ${\displaystyle M_{\mathrm {KS} }\ }$ die Mantelfläche vom Kegelstumpf, dann errechnet sich die Mantelfläche ${\displaystyle M_{\mathrm {KS} }\ }$ des Kegelstumpfes durch ${\displaystyle M_{\mathrm {KS} }=M_{\mathrm {G} }-M_{\mathrm {H} }\ }$

Nun bezeichnet man zusätzlich zu den in der Skizze bereits festgelegten Variablen die Verlängerung der Höhe ${\displaystyle h}$ zur Spitze ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle x}$ und die Verlängerung der Seitenlänge ${\displaystyle m\ }$ zur Spitze des Kegels mit ${\displaystyle s_{\mathrm {x} }\ }$.

Mit Hilfe dieser Notation verifiziere man anschließend

${\displaystyle (1)~~M_{\mathrm {KS} }=M_{\mathrm {G} }-M_{\mathrm {H} }=\pi r(m+s_{\mathrm {x} })-\pi Rs_{\mathrm {x} }}$

(Hinweis zu den Formeln für ${\displaystyle M_{\mathrm {G} }\ }$ und ${\displaystyle M_{\mathrm {H} }\ }$: Für die Fläche eines Kreissegments gilt ${\displaystyle A=\pi r^{2}{\alpha \over 360^{\circ }}\ }$ und für den Segmentbogen ${\displaystyle b=2\pi r{\alpha \over 360^{\circ }}=\pi r{\alpha \over 180^{\circ }}\ }$ woraus ${\displaystyle A={1 \over 2}br\ }$ folgt. Angepasst an die gegebenen Variablen des Kegels ergeben sich die Formeln für ${\displaystyle M_{\mathrm {G} }\ }$ und ${\displaystyle M_{\mathrm {H} }\ }$ (siehe Zeichnung Kegelstumpf rechts, abgewickelte Mantelfläche).)

Mit Hilfe der Strahlensätze leitet man folgenden Zusammenhang innerhalb des Kegels für ${\displaystyle s_{\mathrm {x} }\ }$ her: ${\displaystyle {(m+s_{\mathrm {x} }) \over s_{\mathrm {x} }}={r \over R}\Leftrightarrow R(m+s_{\mathrm {x} })=rs_{\mathrm {x} }\Rightarrow s_{\mathrm {x} }={Rm \over r-R}\ }$.

Durch Einsetzen von ${\displaystyle s_{\mathrm {x} }\ }$ in ${\displaystyle (1)\ }$ erhält man schließlich

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{\mathrm {KS} }&=&\pi (rm+r({Rm \over r-R})-R({Rm \over r-R}))\\&=&\pi (rm+{rRm \over r-R}-{{R}^{2}m \over r-R})\\&=&\pi m(r+{R(r-R) \over r-R})\\&=&\pi (r+R)m\end{matrix}}\ }$

Flächenberechnung mit guldinscher Regel

Mithilfe der ersten guldinschen Regel ${\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}$ lässt sich die Fläche ebenfalls leicht ausrechnen:

${\displaystyle L}$ ist die Länge der erzeugenden Linie ${\displaystyle m}$ (Mantellinie) und ${\displaystyle R}$ ist die Position ihres Schwerpunkts ${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {1} }+r_{\mathrm {2} }}{2}}.}$

Einsetzen ergibt die Mantelfläche des Kegelstumpfes ${\displaystyle M=\pi \cdot m\cdot (r_{\mathrm {1} }+r_{\mathrm {2} }).}$

Rotation um die x-Achse

${\displaystyle M=2\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

Erklärung:

Man stellt sich den Rotationskörper vor als zusammengesetzt aus auf der x-Achse aufgereihten Scheiben, die jede einen Kegelstumpf der Seitenlänge ${\displaystyle \Delta L}$ und den Radien ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ darstellen. Die Summe über die Mantelflächen der Kegelstümpfe (s. o.) bildet dann die gesamte Mantelfläche

${\displaystyle M=\sum _{i}\pi \cdot \Delta L_{i}\cdot (r_{1i}+r_{2i}).}$

Das Linienelement ${\displaystyle \Delta L_{i}}$ der rotierenden Funktion ${\displaystyle f(x)}$ ist über den Satz des Pythagoras gegeben als

${\displaystyle \Delta L_{i}={\sqrt {(\Delta x_{i})^{2}+(\Delta y_{i})^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)^{2}}}\Delta x_{i}.}$

Beim Grenzübergang zum Integral (immer mehr und gleichzeitig entsprechend dünnere Kegelstumpfscheiben) werden ${\displaystyle r_{1i}=r_{2i}=f(x_{i})}$ und man kann schreiben

${\displaystyle M=\pi \sum _{i}2\cdot f(x_{i})\cdot {\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)^{2}}}\Delta x_{i}\rightarrow 2\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Rotation um die y-Achse

Hier gilt demnach:

${\displaystyle M=2\pi \cdot \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}x{\sqrt {1+(x')^{2}}}\,\mathrm {d} y}$

mit ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$, d. h. nach ${\displaystyle x}$ aufgelöst und ${\displaystyle x'={\frac {dx}{dy}}}$.