Finanzmarktmodell

Gegeben sei ein Finanzmarktmodell bestehend aus ${\displaystyle d}$ Anlagegütern (z. B. Aktien oder Derivate) ${\displaystyle (S^{1},\dotsc ,S^{d})}$, einem Numéraire ${\displaystyle S^{0}}$ und Zeitpunkten ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$ mit ${\displaystyle T\in \mathbb {N} }$. Die Wertentwicklung eines Anlagegutes ${\displaystyle S^{i}}$ wird mittels eines stochastischen Prozesses modelliert. Das heißt, zu jeder Zeit ${\displaystyle t=0,\dotsc ,T}$ entspricht ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ dem Preis des ${\displaystyle i}$-ten Anlageguts und ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ ist eine nichtnegative Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

Der Informationsgewinn im betrachteten Finanzmarkt kann durch eine Filtrierung modelliert werden. Eine Filtrierung ist eine aufsteigende Folge von ${\displaystyle \sigma }$-Algebren mit ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}}$. Dabei beschreibt die Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ die bis zur Zeit ${\displaystyle t}$ beobachtbaren Ereignisse. Weiter soll gelten, dass die Preise ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ für alle ${\displaystyle t=0,\dotsc ,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-messbar sind. Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden, dass die Preise ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ bekannt sind.

Schließlich versteht man unter dem diskontierten Preisprozess ${\displaystyle X^{i}:=S^{i}/S^{0}}$ die zinsbereinigte Wertentwicklung von Anlagegütern.

Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}},P)}$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}}$ heißt ${\displaystyle P}$-Martingal, falls folgende drei Eigenschaften gelten:

• ${\displaystyle X}$ ist adaptiert an ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}}$, d. h. ${\displaystyle X_{t}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-messbar für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$.
• ${\displaystyle X}$ ist ein integrierbarer Prozess, d. h. ${\displaystyle X_{t}\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)}$ für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {E} _{P}(X_{t+1}|{\mathcal {F}}_{t})=X_{t}\,P}$-fast sicher für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T-1}}$

Nun heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P^{*}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ Martingalmaß, falls die diskontierten Preisprozesse ${\displaystyle X^{i}}$ für alle ${\displaystyle i=1,\dotsc ,d}$ ${\displaystyle P^{*}}$-Martingale sind.

Beispiel

Folgendes Glücksspiel wird vereinbart: Beim Wurf einer fairen Münze erhält der Spieler bei Zahl ${\displaystyle 1}$ Euro und bei Kopf ${\displaystyle 2}$ Euro. Die Teilnahme am Spiel wird auf ${\displaystyle 1{,}70}$ Euro festgelegt. Das Marktmodell besteht in diesem Fall aus ${\displaystyle d=1}$ Anlagegütern und aus zwei Zeitpunkten, einem Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ vor dem Wurf und einem Zeitpunkt ${\displaystyle t=T=1}$ nach dem Wurf. Die anderen Parameter im Marktmodell lauten den Angaben entsprechend ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ und ${\displaystyle P}$ ist die Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega }$. Der diskontierte Wertprozess ${\displaystyle X^{1}}$ des Glücksspieles entspricht in dem Fall dem Preisprozess ${\displaystyle S^{1}}$ und lautet ${\displaystyle X_{0}^{1}=1{,}70}$ und ${\displaystyle X_{1}^{1}=1\cdot \chi _{\{1\}}+2\cdot \chi _{\{2\}}}$. Offensichtlich handelt es sich bei ${\displaystyle P}$ um kein Martingalmaß, da gilt

${\displaystyle \operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1})=1{,}50\neq 1{,}70=X_{0}^{1}}$.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P^{*}=0{,}3\cdot \delta _{1}+0{,}7\cdot \delta _{2}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ist dagegen ein äquivalentes Martingalmaß. Der diskontierte Preisprozess ${\displaystyle X^{1}}$ ist offensichtlich adaptiert und integrierbar (dies ist unabhängig vom gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß) und es gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1})=1{,}70=X_{0}^{1}}$.