Bezug zur Stetigkeit

Wie man es bei einem Differenzierbarkeitsbegriff erwarten kann, gilt folgender Satz.

Ist ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ metrisch differenzierbar, so ist ${\displaystyle f}$ dort auch stetig als Abbildung zwischen metrischen Räumen.

Verallgemeinerung des Fréchet-Differentials

Fasst man den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in natürlicher Weise (durch die euklidische Norm) als einen normierten Raum auf und ist auch die Metrik ${\displaystyle d_{X}}$ durch eine Norm ${\displaystyle \|.\|_{X}}$ induziert, so wird ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{n},\|.\|_{2})\to (X,\|.\|_{X})}$ zu einer Funktion zwischen normierten Räumen und lässt sich so auf Fréchet-Differenzierbarkeit überprüfen. In diesem Fall gilt der Satz:

Ist ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ Fréchet-differenzierbar mit dem Differential ${\displaystyle Df(x)}$, so ist ${\displaystyle f}$ auch metrisch differenzierbar und es gilt weiter ${\displaystyle MD(f,x)(u)=\|Df(x)(u)\|_{X}}$ für jedes ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Zu beachten ist dabei, dass die Forderung an ${\displaystyle d_{X}}$ keine echte Einschränkung ist, denn nach dem Satz von Kunugui lässt sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten.

Verallgemeinerung des Satzes von Rademacher

Falls ${\displaystyle f}$ Lipschitz-stetig ist, so ist die Funktion auch fast überall metrisch differenzierbar.

Das heißt, die Punkte, in denen sie nicht differenzierbar ist, bilden eine Nullmenge (bezüglich des Hausdorff-Maßes).

Halbnormeigenschaft

Sei ${\displaystyle f}$ wieder Lipschitz-stetig, dann ist für fast jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Abbildung ${\displaystyle MD(f,x)(.)}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

In diesem Fall lässt sich außerdem zeigen:

Für beliebige ${\displaystyle y;z\in \mathbb {R} ^{n}}$ gilt: ${\displaystyle \ d_{X}(f(y),f(z))-MD(f,x)(y-z)\in o(d(y,x)+d(x,z))}$.

Das heißt in einer – gegebenenfalls sehr kleinen – Umgebung von ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist ${\displaystyle MD(f,x)(.)}$ die beste isometrische Näherung für ${\displaystyle f}$. Dabei bezeichne ${\displaystyle d}$ die übliche euklidische Metrik auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; für die Verwendung der "Klein-o-Notation" siehe auch: Landau-Symbole

Gibt es nun umgekehrt für eine – nun nicht notwendig Lipschitz-stetige – Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to (X,d_{X})}$ und eine Stelle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ eine Halbnorm ${\displaystyle s}$ mit der Eigenschaft: ${\displaystyle d_{X}(f(y),f(z))-s(y-z)\in o(d(y,x)+d(x,z))}$, so muss ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle MD(f,x)}$ identisch sein und ${\displaystyle f}$ ist an dieser Stelle metrisch differenzierbar.