Ein Modul [ˈmoːdʊl] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːdʊln], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul; von lateinisch modulus, Verkleinerungsform von modus, „Maß“, „Einheit“) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Ähnlich wie bei Ringen wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

Ein Modul über einem kommutativen Ring ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ oder kurz ${\displaystyle R}$-Modul ist eine additive abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+)}$ zusammen mit einer Abbildung

${\displaystyle R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m}$           (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation),

so dass gilt:

${\displaystyle r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m}$

${\displaystyle r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2}}$

Fordert man zusätzlich noch für ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ein Einselement ${\displaystyle 1}$ mit

${\displaystyle 1\cdot m=m}$,

so nennt man den ${\displaystyle R}$-Modul unitär (englisch: unital). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen. Ist ${\displaystyle R}$ ein Körper, bildet also zusätzlich ${\displaystyle (R\backslash \{0_{R}\},\,\cdot )}$ eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über ${\displaystyle R}$ gerade die Vektorräume über ${\displaystyle R}$.

Bemerkung: Der Begriff des Vektorraums ist also eigentlich überflüssig, da er ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des unitären Moduls ist. Tatsächlich ermöglicht aber die Zusatzbedingung, dass ${\displaystyle R}$ ein Körper ist, so viele Ergebnisse, die in der allgemeinen Situation nicht richtig sind, dass es üblich ist, den Spezialfall durch einen eigenen Begriff vom allgemeinen Fall abzugrenzen.

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ein Ring. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein ${\displaystyle R}$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+)}$ zusammen mit einem Ring ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ und einer Abbildung

${\displaystyle R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m=rm,}$

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle ${\displaystyle r,r_{1},r_{2}\in R,\,m,m_{1},m_{2}\in M}$ gilt

• ${\displaystyle (r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m}$ und
• ${\displaystyle r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2},}$

und für die

• ${\displaystyle r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m}$ für alle ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R,\ m\in M}$

gilt.

Wird vorausgesetzt, dass ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ein unitärer Ring mit einem Einselement ${\displaystyle 1}$ ist, so fordert man meist auch, dass der ${\displaystyle R}$-Linksmodul unitär (englisch: unital) ist, d. h.

• ${\displaystyle 1\cdot m=m}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$.

Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.

Ein Rechtsmodul wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von ${\displaystyle M}$ wirken:
Ein ${\displaystyle R}$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle M}$ zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

${\displaystyle M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,}$

so dass

${\displaystyle (m\cdot r_{1})\cdot r_{2}=m\cdot (r_{1}\cdot r_{2})}$ für alle ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R,\ m\in M.}$

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement ${\displaystyle 1}$ ist unitär, wenn

${\displaystyle m\cdot 1=m}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$ gilt.

Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von ${\displaystyle R}$-Moduln. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

Wechsel des Rings

${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ seien Ringe und ${\displaystyle \rho \colon S\to R}$ sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ definiert die Vorschrift

${\displaystyle (s,m)\mapsto \rho (s)m}$

eine ${\displaystyle S}$-Modulstruktur auf ${\displaystyle M}$, die die mit ${\displaystyle \rho }$ und der ${\displaystyle R}$-Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser ${\displaystyle S}$-Modul wird mit ${\displaystyle \rho _{*}(M)}$ oder mit ${\displaystyle M_{[S]}}$ bezeichnet. Ist insbesondere ${\displaystyle S}$ ein Unterring von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle \rho }$ die kanonische Einbettung, dann wird ${\displaystyle \rho _{*}(M)}$ der durch Einschränkung der Skalare von ${\displaystyle R}$ auf ${\displaystyle S}$ erhaltene ${\displaystyle S}$-Modul genannt.

Ist ${\displaystyle N}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$, dann ist ${\displaystyle \rho _{*}(N)}$ ein Untermodul von ${\displaystyle \rho _{*}(M)}$ und ${\displaystyle \rho _{*}(M/N)=\rho _{*}(M)/\rho _{*}(N).}$

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle A}$ eine assoziative R-Algebra, so ist ein ${\displaystyle A}$-Linksmodul ein ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ zusammen mit einem ${\displaystyle R}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,}$

so dass

${\displaystyle a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m}$ für ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}$

gilt.

Ein ${\displaystyle A}$-Rechtsmodul ist ein ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ zusammen mit einem ${\displaystyle R}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle M\otimes _{R}A\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,}$

so dass

${\displaystyle (ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})}$ für ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}$

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$. Ein ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-Modul oder eine Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle M}$ zusammen mit einer ${\displaystyle K}$-bilinearen Abbildung

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M,\;(X,m)\mapsto X\cdot m,}$

so dass

${\displaystyle [X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)}$ für ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},m\in M}$

gilt.

Alternativ ist ein ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-Modul ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle M}$ zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M);}$

dabei ist ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(M)}$ die ${\displaystyle K}$-Algebra der Endomorphismen von ${\displaystyle M}$ mit dem Kommutator als Lieklammer.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Moduln über einer Gruppe

Es sei ${\displaystyle (G,*)}$ eine Gruppe. Ein ${\displaystyle G}$-Modul oder genauer ${\displaystyle G}$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+)}$ zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

${\displaystyle G\times M\to M,\;(g,m)\mapsto g\cdot m}$,

so dass

${\displaystyle g\cdot (m_{1}+m_{2})=g\cdot m_{1}+g\cdot m_{2}}$ für alle ${\displaystyle g\in G,m_{1},m_{2}\in M}$

und

${\displaystyle (g_{1}*g_{2})\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)}$ für alle ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,m\in M}$

sowie

${\displaystyle e\cdot m=m}$ für das neutrale Element ${\displaystyle e}$ von ${\displaystyle G}$ und für alle ${\displaystyle m\in M}$

gilt.

Ein ${\displaystyle G}$-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

${\displaystyle m\cdot (g_{1}*g_{2})=(m\cdot g_{1})\cdot g_{2}}$ für alle ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,m\in M}$

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein ${\displaystyle G}$-(Links-)Modul eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+)}$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M),}$

dabei ist ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M)=(\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M))^{\times }}$ die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle M}$ mit der Verknüpfung

${\displaystyle (f_{1}\circ f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))}$ für ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in \operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M),m\in M.}$

Ein ${\displaystyle G}$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+)}$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\to (\operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} },}$

das Produkt auf ${\displaystyle (\operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} }}$ ist durch

${\displaystyle (f_{1}\bullet f_{2})(m):=f_{2}(f_{1}(m))}$ für ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in (\operatorname {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} },m\in M}$

gegeben.

Ist ${\displaystyle R}$ weiter ein Ring, so ist ein ${\displaystyle G}$-${\displaystyle R}$-Modul eine abelsche Gruppe mit einer ${\displaystyle R}$-Modul- und einer ${\displaystyle G}$-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

${\displaystyle r\cdot (g\cdot m)=g\cdot (r\cdot m)}$ für ${\displaystyle r\in R,g\in G,m\in M.}$

Alternativ ist ein ${\displaystyle G}$-${\displaystyle R}$-Modul ein ${\displaystyle R}$-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} _{R}(M),}$

dabei ist ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} _{R}(M)}$ die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle R}$-Modul.

${\displaystyle G}$-${\displaystyle R}$-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring ${\displaystyle R[G]}$.

Ist ${\displaystyle K}$ speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des ${\displaystyle G}$-${\displaystyle K}$-Moduls mit dem der ${\displaystyle K}$-linearen Darstellung von ${\displaystyle G}$ überein.

Siehe auch

• Modulo
• Kongruenz (Zahlentheorie)
• Basis (Modul)
• Darstellungstheorie
• einfacher Modul
• freier Modul
• Gruppenoperation
• Moduln über Hauptidealringen
• Modulhomomorphismus
• Untermodul

Weblinks

Alexander von Felbert: Einführung in die Modultheorie.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• L.V. Kuz'min: Module. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt
2. 1 2 David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ 2004, ISBN 978-0-471-43334-7. 
3. ↑ Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.
4. ↑ Ein solcher ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul muss keine Basis haben, nämlich bei Moduln mit Torsionselementen.
5. ↑ Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 3. Tensor products, 2., S. 221 (Internet Archive).