Beispiele

• Die Abbildung ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle h\left(x,y\right)=\left(x,y,x+y\right)}$ ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
• Die Abbildung ${\displaystyle g\colon \left(\mathbb {C} ,+\right)\to \left(\mathbb {R} ,+\right)}$ mit ${\displaystyle g\left(z\right)=\operatorname {Re} \left(z\right)}$ ist zwar ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht injektiv.
• Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$ von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon A/(\ker f)\to B}$

ein Monomorphismus, wenn ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon [a]\mapsto f(a)}$ die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist. Denn es gilt ${\displaystyle \ker {\tilde {f}}=\lbrace \ker f\rbrace }$ und damit ist ${\displaystyle \ker {\tilde {f}}}$ trivial.

• Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv, also stets Monomorphismen.

Definition

In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ mit folgender Eigenschaft:

Sind ${\displaystyle g,h\colon T\to X}$ beliebige Morphismen mit ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, dann folgt ${\displaystyle g=h}$ (Man sagt auch: ${\displaystyle f}$ ist linkskürzbar).

${\displaystyle X}$ (zusammen mit ${\displaystyle f}$) heißt dann ein Unterobjekt von ${\displaystyle Y}$.

In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Räume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht-injektiven Monomorphismen.

In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Monomorphismus ${\displaystyle f}$ als kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow X\;{\overset {f}{\longrightarrow }}\;Y}$

oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als

${\displaystyle X\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;Y}$

notiert.

Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus

Wir betrachten die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Div} }$ der teilbaren abelschen Gruppen: Die Objekte sind die abelschen Gruppen ${\displaystyle G}$, für die folgendes gilt:

Für alle ${\displaystyle a\in G}$ und alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n>0}$, existiert ein ${\displaystyle b\in G}$ mit ${\displaystyle a=nb}$; das Element ${\displaystyle a}$ lässt sich also „durch ${\displaystyle n}$ teilen“.

Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die Gruppen ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ und ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,+)}$ sind teilbare abelsche Gruppen. Die kanonische Projektion ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ist surjektiv und ein Monomorphismus in ${\displaystyle \mathbf {Div} }$, aber nicht injektiv.

Ist nämlich ${\displaystyle X}$ eine beliebige teilbare Gruppe und sind ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {Q} }$ zwei Morphismen mit der Eigenschaft ${\displaystyle \pi \circ f=\pi \circ g}$, dann gilt ${\displaystyle \forall x\in X.\ f(x)-g(x)\in \operatorname {ker} \pi =\mathbb {Z} }$. Wäre nun ${\displaystyle f\neq g}$, dann gäbe es ein ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle t:=f(x)-g(x)\neq 0}$. Falls ${\displaystyle t<0}$, vertausche die Rollen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$; somit bleibt der Fall ${\displaystyle t\in \mathbb {N} }$. Weil ${\displaystyle X}$ teilbar ist, gäbe es dann ein ${\displaystyle y\in X}$ mit ${\displaystyle x=2ty}$. Dann wäre aber

${\displaystyle t=f(x)-g(x)=f(2ty)-g(2ty)=2t(f(y)-g(y))}$,

also ${\displaystyle f(y)-g(y)=1/2}$, was ${\displaystyle \forall x\in X.\ f(x)-g(x)\in \mathbb {Z} }$ widerspräche.

Extremale Monomorphismen

Ein Monomorphismus ${\displaystyle f}$ heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist ${\displaystyle f=g\circ m}$ und ${\displaystyle m}$ ist ein Epimorphismus, dann muss ${\displaystyle m}$ ein Isomorphismus sein.

Weil ${\displaystyle m}$ automatisch ein Monomorphismus ist, sind in Kategorien, in denen alle Bimorphismen (das sind Monomorphismen, die Epimorphismen sind) bereits Isomorphismen sind, alle Monomorphismen extremal. Dies hat man zum Beispiel in der Kategorie der Mengen und der Kategorie der Gruppen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen. In der Kategorie der Hausdorff-Räume sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen.

In der Kategorie der Banachräume sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen ${\displaystyle f}$, für die es ein positives ${\displaystyle m}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle x}$ aus dem Definitionsbereich gilt:

${\displaystyle m\left\|x\right\|\leq \left\|f(x)\right\|}$

Unterobjekte

Zu einem gegebenen Objekt ${\displaystyle A}$ einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ kann man die Unterkategorie ${\displaystyle \mathrm {QSub} (A)}$ der Scheibenkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}/A}$ betrachten, deren Objekte allesamt Monomorphismen in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sind. Parallele Pfeile sind hier immer identisch; es handelt sich also um eine Quasiordnung. Die partielle Ordnung ${\displaystyle \mathrm {Sub} (A)}$ der Unterobjekte von ${\displaystyle A}$ ist nun diejenige, die aus ${\displaystyle \mathrm {QSub} (A)}$ durch den Übergang zu Isomorphieklassen entsteht.