Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Gegebene quadratische Funktion:	${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	${\displaystyle y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c}$

Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form ${\displaystyle (x^{2}+2dx+d^{2})-d^{2}}$ gebracht, so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Dabei wird ${\displaystyle d^{2}-d^{2}}$ als „nahrhafte Null“ bezeichnet, oder als „Nullergänzung“.

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle y=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right]+c}$
Ausmultiplizieren:	${\displaystyle y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}$
Scheitelform der Funktion:	${\displaystyle y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}$
Ablesen des Scheitelpunkts:	${\displaystyle S\left(-{\frac {b}{2a}}\right|\left.c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}$

Ergänzung: Mit ${\displaystyle x_{S}=-b/(2a)}$ ist also ${\displaystyle x_{S}}$ die ${\displaystyle x}$-Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige ${\displaystyle y}$-Koordinate ${\displaystyle y_{S}}$ gilt dann ${\displaystyle y_{S}=c-a\cdot (x_{S})^{2}}$.

Beispiel

Gegebene quadratische Funktion:	${\displaystyle y=2x^{2}-12x+13\,}$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	${\displaystyle y=2(x^{2}-6x)+13\,}$

Wegen ${\displaystyle ({\tfrac {6}{2}})^{2}=9}$ wird die „nahrhafte Null“ ${\displaystyle 9-9}$ eingefügt:

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle y=2(x^{2}-6x+9-9)+13\,}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle y=2[(x-3)^{2}-9]+13\,}$
Ausmultiplizieren:	${\displaystyle y=2(x-3)^{2}-18+13\,}$
Scheitelform der Funktion:	${\displaystyle y=2(x-3)^{2}-5\,}$
Ablesen des Scheitelpunkts:	${\displaystyle S(3|-5)\,}$

Lösung einer quadratischen Gleichung

(Es sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.)

Gegebene quadratische Gleichung:	${\displaystyle 2x^{2}-12x=32\,}$
Normierung:	${\displaystyle x^{2}-6x=16\,}$

Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form ${\displaystyle x^{2}-2dx+d^{2}}$ gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. ${\displaystyle d^{2}}$ wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert:

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle x^{2}-6x+9=16+9\,}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle (x-3)^{2}=25\,}$
Wurzelziehen:	${\displaystyle x-3=\pm 5\,}$
Auflösen der Betragsfunktion:	${\displaystyle x-3=-5\,}$ oder ${\displaystyle x-3=5\,}$
Lösungsmenge:	${\displaystyle \mathbb {L} =\{-2;8\}}$

Bestimmung einer Stammfunktion

Das unbestimmte Integral

${\displaystyle \int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x}$

soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert

${\displaystyle 4x^{2}-8x+13=\dotsb =4(x-1)^{2}+9\,.}$

Für das Integral bedeutet dies:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+({\frac {3}{2}})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{3}}\arctan {\frac {2(x-1)}{3}}+C\end{aligned}}}$

Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$

Normalform einer Quadrik

Die Quadrik

${\displaystyle Q=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid q(x,y)=0\}}$ mit ${\displaystyle q(x,y)=x^{2}+4xy+5y^{2}-6x-14y+9}$

soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen ${\displaystyle x}$ (d. h. ${\displaystyle y}$ wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ${\displaystyle y}$ ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x,y)&=x^{2}+(4y-6)x+5y^{2}-14y+9\\&=x^{2}+(4y-6)x+(2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y+1^{2}-1^{2}\\&=(x+2y-3)^{2}+(y-1)^{2}-1\end{aligned}}}$

Mit der Substitution ${\displaystyle u=x+2y-3}$, ${\displaystyle v=y-1}$ wird also die Gleichung der Quadrik ${\displaystyle Q}$ auf die Kreisgleichung ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=1}$ transformiert.