Teil I

Für zwei Folgen komplexer Zahlen ${\displaystyle (a_{i})_{i=1,2,3\dots }}$ und ${\displaystyle (b_{i})_{i=1,2,3\dots }}$ mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

${\displaystyle |b_{i}|\geq |a_{i}|+1}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

${\displaystyle {\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

${\displaystyle f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}}$   ${\displaystyle (n=1,2,3,\dots )}$

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert ${\displaystyle f\in \mathbb {C} }$ mit

  ${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Teil II

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

${\displaystyle |f_{n}|<1}$   ${\displaystyle (n=1,2,3\dots )}$   und damit   ${\displaystyle |f|\leq 1}$.

Teil III

Der Grenzfall   ${\displaystyle |f|=1}$   liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)   ${\displaystyle |b_{i}|={|a_{i}|+1}}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$

(IIIb)   Alle   ${\displaystyle {\frac {a_{i+1}}{{b_{i}}\cdot {b_{i+1}}}}}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$ sind negative reelle Zahlen.

(IIIc) Die Reihe   ${\displaystyle {\sum _{i=1}^{\infty }{|a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{i}|}}}$   ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert  ${\displaystyle f={\frac {a_{1}\cdot |b_{1}|}{|a_{1}|\cdot b_{1}}}}$.

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky

Für eine Folge komplexer Zahlen   ${\displaystyle (a_{i})_{i=1,2,3\dots }}$  , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

${\displaystyle |a_{i}|\leq {\frac {1}{4}}}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$

erfüllt, ist der Kettenbruch

${\displaystyle {\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}={\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+\ddots }}}}}}}$

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche   ${\displaystyle f_{n}}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$   stets

${\displaystyle |f_{n}|<{\frac {1}{2}}}$

und dementsprechend für den Wert   ${\displaystyle f}$   des Kettenbruchs

${\displaystyle |f|\leq {\frac {1}{2}}}$.

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim

Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, das Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat und das wie folgt lautet:

Für eine Folge komplexer Zahlen   ${\displaystyle (b_{i})_{i=1,2,3\dots }}$  , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

${\displaystyle {{\frac {1}{|b_{2i-1}|}}+{\frac {1}{|b_{2i}|}}}\leq 1}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

${\displaystyle {\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}={\cfrac {1}{b_{1}+{\cfrac {1}{b_{2}+{\cfrac {1}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner   ${\displaystyle b_{i}}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$ mindestens den Betrag 2 haben.

Satz von Stern-Stolz

Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

${\displaystyle {{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}}}$

zu einer Folge komplexer Zahlen   ${\displaystyle b_{i}\in \mathbb {C} }$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$

ist divergent, wenn die zugehörige Reihe

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }b_{i}}$

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{|b_{i}|}=\infty }$

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.

Satz von Seidel-Stern

Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Folge positiver reeller Zahlen   ${\displaystyle (b_{i})_{i=1,2,3\dots }}$   konvergiert der Kettenbruch

${\displaystyle {{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}}}$

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }b_{i}}$

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück. Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze

Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüche. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt Folgendes:

Es seien zwei Folgen reeller Zahlen   ${\displaystyle (a_{i})_{i=1,2,3\dots }}$   und   ${\displaystyle (b_{i})_{i=0,1,2,3\dots }}$   gegeben, die für alle Indizes   ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$   den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)   ${\displaystyle |a_{i}|=1}$

  (II)   ${\displaystyle b_{i}\geq 1}$

  (III)   ${\displaystyle b_{i}+a_{i+1}\geq 1}$

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)   ${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

${\displaystyle f_{n}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}}$   ${\displaystyle (n=0,1,2,3,\dots )}$

konvergiert dabei in   ${\displaystyle \mathbb {R} }$   gegen den Grenzwert

${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }f_{n}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

und dabei gilt

${\displaystyle b_{0}<f\leq b_{0}+1}$, falls   ${\displaystyle a_{1}=1}$,

bzw.

${\displaystyle b_{0}-1\leq f<b_{0}}$, falls   ${\displaystyle a_{1}=-1}$   .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner   ${\displaystyle B_{n}}$   der Näherungsbrüche   ${\displaystyle f_{n}}$     ${\displaystyle (n=0,1,2,3\dots )}$   stets die Ungleichung

${\displaystyle B_{n}\geq 1}$

und es ist

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=\infty }$.

Beispiel I

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:

${\displaystyle {\begin{aligned}g&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {i}{i+1}}\\&={\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}$

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

${\displaystyle g={\frac {1}{e-2}}-1=0{,}3922111911773330\dotso }$  ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl   ${\displaystyle e}$   ergibt. Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl   ${\displaystyle g}$   ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{i+1}}\\&={\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}$ .

Hier ist

${\displaystyle h={\frac {1}{c_{1}}}-1=0{,}433127426\dotso }$  ,

wobei   ${\displaystyle c_{1}=0{,}6977746579\dotso }$   eine Konstante darstellt, die mit der sogenannten Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch   ${\displaystyle c_{1}}$   zu den transzendenten Zahlen. Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl   ${\displaystyle h}$   transzendent ist.

Beispiel III

Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ,   ${\displaystyle |z|\geq 2}$   immer der folgende unendliche Kettenbruch:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{z}}\\&={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}}$

Hierfür gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{z+f(z)}}\\&={\frac {{\sqrt {z^{2}+4}}-z}{2}}\\\end{aligned}}}$   .

Insbesondere ergibt sich für   ${\displaystyle z=2}$  :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(2)&={\frac {{\sqrt {8}}-2}{2}}\\&={\sqrt {2}}-1\\\end{aligned}}}$

und so

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&=1+{{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{2}}}\\&=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}}$   .

Beispiel IV

Wenn man in Beispiel III   ${\displaystyle z=1}$   einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch   ${\displaystyle \psi }$, wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &={{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{1}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\\&={\frac {1}{\Phi }}\\\end{aligned}}}$,

wobei   ${\displaystyle \Phi }$   für die Goldene Zahl steht.

Gegenbeispiel

Wird in Beispiel III   ${\displaystyle z={\mathrm {i} }}$   gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch. Der unendliche Kettenbruch

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{\mathrm {i} }}\\&={\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+{\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+{\cfrac {1}{{\mathrm {i} }+\ddots }}}}}}\\\end{aligned}}}$

ist also divergent, obwohl die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

mit   ${\displaystyle b_{n}={\mathrm {i} }}$   ${\displaystyle (n=1,2,3\dots )}$   selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche

Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*) ${\displaystyle b_{0}+{{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {-1}{b_{i}}}}=b_{0}-{\cfrac {1}{b_{1}-{\cfrac {1}{b_{2}-{\cfrac {1}{b_{3}-\ddots }}}}}}}$

zu natürlichen Zahlen     ${\displaystyle b_{i}\in \mathbb {N} }$   mit   ${\displaystyle b_{i}\geq 2}$   ${\displaystyle (i=1,2,3\dots )}$   und zu ganzzahligem Anfangsglied  ${\displaystyle b_{0}\in \mathbb {Z} }$   heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, die Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz: