Rationalität

Sie hat eine rationale Parametrisierung

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {P} ^{1}\to C\subset \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle \phi \colon (t_{0}:t_{1})\mapsto (t_{0}^{3}:t_{0}(t_{1}^{2}-t_{0}^{2}):t_{1}(t_{0}^{2}-t_{1}^{2}))}$

Die Parametrisierung zeigt, dass der Newtonsche Knoten rational, also birational äquivalent zum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ist.

Duale Kurve

Die duale Kurve ${\displaystyle C^{*}}$ besitzt die Parametrisierung:

${\displaystyle \phi ^{*}\colon \mathbb {P} ^{1}\to C^{*}\subset \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle \phi ^{*}\colon (t_{0}:t_{1})\mapsto ((t_{0}^{2}-t_{1}^{2})^{2}:t_{0}^{2}(t_{0}^{2}-3t_{1}^{2}):-2t_{0}^{3}t_{1})}$

${\displaystyle C^{*}}$ ist eine herzförmige Quartik und wird Kardioide genannt.

Singularität

Die Singularität ist ein Doppelpunkt. Für die obige Abbildung ${\displaystyle \phi }$ gilt:

${\displaystyle \phi (1:1)=\phi (1:-1)}$

In einer Umgebung der Singularität sieht die Kurve anschaulich so aus wie der Schnittpunkt zweier Kurven.

Betrachtet man die Kurve über den komplexen Zahlen, so ergibt sich, dass die Wurzel von ${\displaystyle (x+1)}$ holomorph für ${\displaystyle x<1}$ ist, man kann also schreiben:

${\displaystyle y^{2}-x^{2}(x+1)=(y+x{\sqrt {x+1}})(y-x{\sqrt {x+1}})=f_{1}\cdot f_{2}}$

mit zwei holomorphen Funktionen ${\displaystyle f_{1}}$ und ${\displaystyle f_{2}}$.

Algebraisch entspricht das der Isomorphie von vervollständigten lokalen Ringen.