Faktorgruppe

Die Nebenklassen eines Normalteilers ${\displaystyle N}$ bilden mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, die die Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle N}$ heißt.

Die Faktorgruppe besteht also aus den Nebenklassen von ${\displaystyle N}$, das heißt ${\displaystyle G/N=\{g\cdot N\mid g\in G\}}$, und das Produkt zweier Nebenklassen ist als Komplexprodukt ${\displaystyle (gN)\cdot (hN)=\{x\cdot y\mid x\in gN,y\in hN\}}$ definiert. Für einen Normalteiler ${\displaystyle N}$ von ${\displaystyle G}$ und beliebige Elemente ${\displaystyle g,\,h}$ von ${\displaystyle G}$ ist nämlich das Komplexprodukt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse, und zwar ${\displaystyle (gN)\cdot (hN)=(gh)N}$. Dies folgt aus der Gleichheit von Rechts- und Linksnebenklassen (s. o.): ${\displaystyle gN\cdot hN=g(Nh)N=g(hN)N=(gh)(NN)=(gh)N}$.

Für eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist, ist das Komplexprodukt zweier Links- (oder Rechts-) Nebenklassen im Allgemeinen keine Links- bzw. Rechtsnebenklasse.

Kanonischer Homomorphismus

Ist ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ ein Normalteiler, so ist die Abbildung

${\displaystyle \pi \colon G\to G/N,\quad g\mapsto g\cdot N}$,

die jedes Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ auf die Nebenklasse ${\displaystyle gN}$ abbildet, ein Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle G}$ in die Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$. Der Homomorphismus ${\displaystyle \pi }$ ist surjektiv und der Kern ist gerade ${\displaystyle N}$. Man nennt diesen Gruppenhomomorphismus den kanonischen Homomorphismus ${\displaystyle G\to G/N}$.

Kerne als Normalteiler

Der Kern ${\displaystyle \operatorname {ker} (\varphi )}$ eines beliebigen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ ist stets ein Normalteiler der abgebildeten Gruppe. Zur Verdeutlichung der Definitionen wird der Beweis hier ausgeführt. Sei

${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$	ein Gruppenhomomorphismus und
${\displaystyle \operatorname {ker} (\varphi ):=\{n\in G\mid \varphi (n)=e_{H}\}}$	dessen Kern (mit ${\displaystyle e_{H}}$ als dem neutralen Element von ${\displaystyle H}$).

Dann ist für alle ${\displaystyle g\in G}$ und ${\displaystyle n\in \operatorname {ker} (\varphi )}$

${\displaystyle \varphi (g\,n\,g^{-1})=\varphi (g)\;\varphi (n)\;\varphi (g^{-1})=\varphi (g)\,e_{H}\,\varphi (g^{-1})=\varphi (g)\,\varphi (g^{-1})=\varphi (g\;g^{-1})=\varphi (e_{G})=e_{H},}$

also ${\displaystyle g\,n\,g^{-1}\in \operatorname {ker} (\varphi )}$ und damit ${\displaystyle \operatorname {ker} (\varphi )}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G}$ nach Definition 2.

Zusammen mit den Überlegungen zum kanonischen Homomorphismus zeigen diese Überlegungen, dass die Normalteiler genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen sind. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen genau den Normalteilern. Zu diesem Themenkreis siehe auch „Homomorphiesatz“.

Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt

Im Allgemeinen gibt es im Normalteilerverband keine Komplementärobjekte. Hat ein Normalteiler ${\displaystyle N_{1}}$ jedoch ein Komplementärobjekt ${\displaystyle N_{2}}$, das heißt, gilt für die Normalteiler ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\{e\}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {N}}(N_{1}\cup N_{2})=G}$, dann ist die Gruppe ${\displaystyle G}$ als (inneres) direktes Produkt dieser Normalteiler darstellbar: ${\displaystyle G\cong N_{1}\times N_{2}}$, das heißt, jedes Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ hat eine eindeutige Darstellung als Produkt ${\displaystyle g=n_{1}\cdot n_{2}}$ von Elementen ${\displaystyle n_{1}\in N_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}\in N_{2}}$. Umgekehrt ist jeder Faktor ${\displaystyle H_{j}}$ eines (äußeren) direkten Produktes ${\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\cdots \times H_{n}}$ (isomorph zu einem) Normalteiler der Produktgruppe ${\displaystyle G}$ und das Produkt aus den übrigen Faktoren ist isomorph zu einem dazu komplementären Normalteiler.

Eine Verallgemeinerung dieser Aussage: Für zwei Normalteiler, die eine triviale Schnittmenge haben, d. h. ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\{e\}}$, gilt:

• Ihre Elemente kommutieren untereinander, ohne dass natürlich einer der beiden Normalteiler kommutativ sein müsste:

${\displaystyle n_{1}\cdot n_{2}=n_{2}\cdot n_{1}\quad {\text{falls}}\;n_{1}\in N_{1},\,n_{2}\in N_{2}}$

• Ihr Supremum im Verband der Normalteiler stimmt mit ihrem Komplexprodukt überein, das wiederum zu ihrem (äußeren) direkten Produkt isomorph ist:

${\displaystyle {\mathcal {N}}(N_{1}\cup N_{2})=N_{1}\cdot N_{2}\cong N_{1}\times N_{2}}$

Beide Aussagen treffen im Allgemeinen für Untergruppen, die keine Normalteiler sind, nicht zu. Zum Beispiel schneiden sich in der freien Gruppe über zwei Elementen ${\displaystyle F=\langle a,b\rangle }$ die beiden unendlichen zyklischen Untergruppen ${\displaystyle A=\langle a\rangle }$ und ${\displaystyle B=\langle b\rangle }$ in der Einsgruppe. Die Gruppe ${\displaystyle A\times B}$ (äußeres direktes Produkt) ist aber zu keiner Untergruppe von ${\displaystyle F}$ isomorph. Das Komplexprodukt ${\displaystyle A\cdot B}$ ist keine Untergruppe von ${\displaystyle F}$, da z. B. ${\displaystyle ab\in A\cdot B}$ ist, aber ${\displaystyle (ab)^{2}=abab\not \in A\cdot B}$.

Inneres semidirektes Produkt

Ist nur ${\displaystyle N}$ ein Normalteiler und ${\displaystyle H}$ eine nicht notwendig normale Untergruppe der Gruppe ${\displaystyle G}$ und schneiden sich die beiden in der Einsgruppe, gilt also ${\displaystyle N\cap H=\{e\}}$, dann gilt:

• Das Komplexprodukt ${\displaystyle U=N\cdot H}$ ist eine (nicht notwendig normale) Untergruppe von ${\displaystyle G}$.
• Jedes Element ${\displaystyle u\in U}$ ist als Produkt ${\displaystyle u=n\cdot h}$ von Elementen ${\displaystyle n\in N}$ und ${\displaystyle h\in H}$ eindeutig darstellbar.
• Natürlich ist der Normalteiler ${\displaystyle N}$ von ${\displaystyle G}$ stets normal in ${\displaystyle U}$. Die Untergruppe ${\displaystyle H<U}$ ist genau dann normal in ${\displaystyle U}$, wenn die Elemente von ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle H}$ untereinander kommutieren (s. o.).

In der beschriebenen Situation (${\displaystyle N\vartriangleleft G,\;H<G,\;N\cap H=\{e\}}$) bezeichnet man das Komplexprodukt ${\displaystyle U=N\cdot H}$ als (inneres) semidirektes Produkt der Untergruppen ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle H}$. Das äußere semidirekte Produkt besteht, wie in dem genannten Artikel ausgeführt, aus dem kartesischen Produkt zweier Gruppen (hier ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle H}$) zusammen mit einem Homomorphismus ${\displaystyle \theta \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$ von ${\displaystyle H}$ in die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle N}$. Das äußere semidirekte Produkt wird dann häufig als ${\displaystyle A=N\rtimes _{\theta }H}$ geschrieben. Von den technischen Details interessiert in unserem Zusammenhang nur, dass durch ${\displaystyle \theta }$ die Rechenregel (Relation)

${\displaystyle \left(e_{N},h\right)\cdot \left(n,e_{H}\right)=\left(\theta (h)(n),h\right)}$

auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle N\times H}$ eingeführt wird. Die Schreibweise ${\displaystyle \theta (h)(n)}$ bedeutet hier, der Automorphismus ${\displaystyle \theta (h)}$ wird auf ${\displaystyle n}$ angewandt, es gilt hier wie im Folgenden immer ${\displaystyle n\in N,h\in H}$. Diese Rechenregel ermöglicht es, alle Produkte (durch Durchschieben der Elemente von ${\displaystyle H}$ nach rechts) auf die Standardform ${\displaystyle (n,e_{H})\cdot (e_{N},h)}$ zu bringen. In unserem Fall eines inneren Produkts entspricht dem die Rechenregel

${\displaystyle h\cdot n=h\cdot n\cdot \left(h^{-1}\cdot h\right)=\left(h\cdot n\cdot h^{-1}\right)\cdot h=\theta (h)(n)\cdot h}$,

das heißt, ${\displaystyle H}$ operiert auf ${\displaystyle N}$ durch Konjugation, ${\displaystyle \theta (h)\in \operatorname {Aut} (N)}$ ist der durch diese Konjugation definierte Automorphismus des Normalteilers ${\displaystyle N}$. Im Sinne dieser Überlegungen ist das Komplexprodukt ${\displaystyle U}$ (hier ein inneres semidirektes Produkt) isomorph zu dem äußeren semidirekten Produkt ${\displaystyle A=N\rtimes _{\theta }H}$.

Jedes direkte Produkt ist auch ein spezielles semidirektes, ${\displaystyle U}$ wie hier beschrieben ist genau dann das (innere) direkte Produkt von ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle H}$, wenn eine der folgenden, paarweise äquivalenten, Bedingungen zutrifft:

• ${\displaystyle H\vartriangleleft U}$ (auch ${\displaystyle H}$ ist ein Normalteiler des Produkts).
• ${\displaystyle \forall n\in N\,\forall h\in H\colon \;nh=hn}$ (Elemente der beiden Faktorgruppen können in Produkten untereinander vertauscht werden, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert).
• ${\displaystyle \forall h\in H\colon \;\theta (h)=\operatorname {Id} _{N}}$ (Konjugation mit Elementen aus ${\displaystyle H}$ lässt ${\displaystyle N}$ punktweise fest).