Vorwärtsanalyse

Ein Verfahren heißt stabil, wenn es eine Konstante ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$ und ein ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ mit ${\displaystyle \|{\tilde {x}}-x\|\leq \varepsilon }$ gibt, so dass gilt:

${\displaystyle \|{\tilde {f}}(x)-{\tilde {f}}({\tilde {x}})\|\leq \kappa \sigma \varepsilon }$

mit

• der relativen Kondition ${\displaystyle \kappa }$ des Problems
• der Maschinengenauigkeit ${\displaystyle \varepsilon }$
• der Quantifizierung ${\displaystyle \sigma }$ der Stabilität im Sinne der Vorwärtsanalyse.

Rückwärtsanalyse

Das zweite gängige Analyseverfahren ist die von James Hardy Wilkinson eingeführte Rückwärtsanalyse.

Meistens kennt man eine sinnvolle obere Schranke ${\displaystyle \varepsilon }$ für den unvermeidbaren relativen Eingabefehler ${\displaystyle {\frac {\|{\tilde {x}}-x\|}{\|x\|}}}$ (problemabhängig kann das ein Messfehler oder auch ein Rundungsfehler sein). Um den durch den Algorithmus verursachten Fehler besser einschätzen zu können, rechnet man ihn bei der Rückwärtsanalyse rückwärts in einen äquivalenten Fehler in den Eingangsdaten des Problems um, der auch als Rückwärtsfehler bezeichnet wird.

Die formale Definition des Rückwärtsfehlers des Algorithmus ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ für die (gerundeten) Eingabedaten ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ (mit ${\displaystyle \|{\tilde {x}}\|\neq 0}$) lautet:

${\displaystyle \varepsilon _{\text{R}}({\tilde {x}}):=\inf \left\{\left.{\frac {\|{\hat {x}}-{\tilde {x}}\|}{\|{\tilde {x}}\|}}\right|{\hat {x}}\in \operatorname {Db} f\;\wedge \;f({\hat {x}})={\tilde {f}}({\tilde {x}})\right\}}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {Db} }$ für Definitionsbereich steht.

Vereinfacht gesagt wird bei der Rückwärtsanalyse nicht direkt das Ergebnis der Durchführung / Anwendung des Algorithmus beurteilt, sondern indirekt wie groß der (relative) Eingabefehler sein darf, mit dem noch ein erträglich genaues Ergebnis herauskommt.

Der Algorithmus ist rückwärtsstabil, wenn der relative Rückwärtsfehler für alle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in \operatorname {Db} {\tilde {f}}}$ kleiner ist als der unvermeidbare relative Eingabefehler.

Für manche Anwendungen schwächt man diese Forderung ab und lässt noch eine dem Problem angemessene Konstante ${\displaystyle C>1}$ zu, mit der gelten soll:

für alle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in \operatorname {Db} {\tilde {f}}\colon \varepsilon _{\text{R}}({\tilde {x}})\leq C\varepsilon .}$

Manchmal interessiert man sich auch nur dafür, ob der relative Rückwärtsfehler überhaupt beschränkt ist.

Man kann zeigen, dass Rückwärtsstabilität die Vorwärtsstabilität impliziert.

Addition

Da man zeigen kann, dass die relative Kondition der Addition bei zwei Zahlen im Falle der Auslöschung (Ergebnis ist nah an 0) beliebig schlecht sein kann, folgt aus der Definition der Vorwärtsanalyse, dass die Addition als numerisches Verfahren (im Computer) stabil ist.

Differentialgleichungen

Bei numerischen Lösern für Differentialgleichungen mit Anfangs- oder Randwerten bzw. mit rechter Seite ${\displaystyle f}$ versucht man abzuschätzen, wie die entwickelte Lösung von den Eingabegrößen abhängt. Im Sinne der Vorwärtsanalyse gibt es in diesem Fall die Konstante ${\displaystyle \sigma }$.