Parametrisierung

Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen (parametrisieren). Ist ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ eine Menge, deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar, nicht unendlich lang und ferner ${\displaystyle \varphi }$ eine Abbildung von ${\displaystyle B}$ in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist, so sagt man, ${\displaystyle \varphi }$ ist Parametrisierung der Fläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\varphi (B)}$ ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass ein Großteil der Schwierigkeiten im Umgang mit Oberflächenintegralen mit der Parametrisierung zusammenhängt. Es ist a priori nicht klar, dass unterschiedliche Parametrisierungen den gleichen Wert für das Integral erzeugen. Ein Koordinatenwechsel für Oberflächenintegrale ist nicht trivial und ist mithin Motivation für die Verwendung von Differentialformen.

Allgemein lässt sich eine Fläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit zwei Parametern ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ in folgender Form darstellen:

${\displaystyle \varphi \colon B\to \mathbb {R} ^{3},\quad \left(u,v\right)\mapsto {\vec {\varphi }}\left(u,v\right)=\left({\begin{matrix}x\left(u,v\right)\\y\left(u,v\right)\\z\left(u,v\right)\\\end{matrix}}\right)}$

Auf der Fläche ${\displaystyle {\vec {\varphi }}\left(u,v\right)}$ bilden die Kurvenscharen ${\displaystyle u=\mathrm {const} }$ bzw. ${\displaystyle v=\mathrm {const} }$ die Koordinatenlinien. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige Koordinaten ${\displaystyle \left(u_{0},v_{0}\right)}$.

Oberflächenelement

Wenn im eindimensionalen Fall das ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$ zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen (siehe auch: Krummlinige Koordinaten): Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man ${\displaystyle v}$ konstant lässt und ${\displaystyle u}$ minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt ${\displaystyle \left(u_{0},v_{0}\right)}$. Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale Tangentenvektoren ausdrücken (sei ${\displaystyle {\vec {\varphi }}\left(u,v\right)}$ die parametrisierte Form der Fläche):

${\displaystyle \left.{\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial u}}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm {d} u}$   und   ${\displaystyle \left.{\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial v}}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm {d} v}$

Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die partiellen Ableitungen verwendet:

${\displaystyle {\vec {\varphi }}_{u}={\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial u}}}$   und   ${\displaystyle {\vec {\varphi }}_{v}={\frac {\partial {\vec {\varphi }}}{\partial v}}}$

Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich Null ist.

${\displaystyle \left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|\neq 0}$

Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.

Ist nun ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(u,v)}$ eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

• Skalares Oberflächenelement  

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

• Vektorielles Oberflächenelement  

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}\ \mathrm {d} \sigma ={\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\ \mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$     mit dem Einheitsnormalenvektor des Flächenelements     ${\displaystyle {\hat {n}}={\frac {{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}}{\left|\left|{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right|\right|}}}$

Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.

In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man ${\displaystyle {\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}}$ oder ${\displaystyle {\vec {\varphi }}_{v}\times {\vec {\varphi }}_{u}=-\left({\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}\right)}$ berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.

Projektion auf Fläche mit bekanntem Flächenelement

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass eine Fläche ${\displaystyle A}$ mit ihrem Flächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} A}$ und zugehörigem Normalenvektor ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}}$ bekannt ist. Z. B.

• xy-Ebene:

${\displaystyle \mathrm {d} A=\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$   und   ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{z}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)}$

• Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \mathrm {d} A=\rho \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z}$   und   ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{\rho }=\left({\begin{matrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\\\end{matrix}}\right)}$

• Kugeloberfläche mit Radius ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle \mathrm {d} A=r^{2}\sin \vartheta \mathrm {d} \vartheta \mathrm {d} \varphi }$   und   ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}={\hat {e}}_{r}=\left({\begin{matrix}\sin \vartheta \ \cos \varphi \\\sin \vartheta \ \sin \varphi \\\cos \vartheta \\\end{matrix}}\right)}$

Für eine weitere Fläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ mit Normalenvektor ${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathcal {F}}}$ soll das Flächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$ ermittelt werden. Die Fläche ist etwa durch ${\displaystyle g(x,y,z)=0}$ gegeben und somit der Normalenvektor gleich ${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathcal {F}}=\nabla g/||\nabla g||}$.

Wir projizieren nun ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ entlang von ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}}$ auf ${\displaystyle A}$. Dann lassen sich die Flächenelemente mittels ${\displaystyle \mathrm {d} A=\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\hat {n}}_{A}=|\mathrm {d} {\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}_{A}|=\mathrm {d} \sigma \,|{\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}|}$ für ${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}\neq 0}$ verknüpfen:

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {\mathrm {d} A}{|{\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {||\nabla g||\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}}$

Dabei darf jede Gerade entlang der Normalenvektoren ${\displaystyle {\hat {n}}_{A}}$ die Fläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ nur einmal schneiden. Sonst muss man die Fläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ aufteilen in kleinere Flächen ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\,{\mathcal {F}}_{2},\,\dotsc }$, deren Projektion dann eindeutig ist, oder eine andere Grundfläche ${\displaystyle A}$ wählen.

Das vektorielle Flächenelement ist:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}_{\mathcal {F}}{\frac {\mathrm {d} A}{|{\hat {n}}_{\mathcal {F}}\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {\nabla g}{||\nabla g||}}{\frac {||\nabla g||\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}={\frac {\nabla g\,\mathrm {d} A}{|\nabla g\cdot {\hat {n}}_{A}|}}}$

Das skalare Oberflächenintegral

Das skalare Oberflächenintegral einer skalaren Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ über eine Oberfläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ mit regulärer Parametrisierung ${\displaystyle \varphi \colon B\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ist definiert als

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}f({\vec {x}})\,\mathrm {d} \sigma =\iint _{B}f\left({\vec {\varphi }}(u,v)\right)\,||{\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v}||\,\,\mathrm {d} (u,v)}$.

Setzt man beispielsweise ${\displaystyle f({\vec {x}})=1}$, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der Flächeninhalt der Oberfläche.

Beispiel: Oberflächeninhalt einer Kugel

Mit dem Flächenelement für Kugelkoordinaten

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

ergibt sich für den Flächeninhalt ${\displaystyle A({\mathcal {F}})}$ der Oberfläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ einer Kugel mit dem Radius ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle A({\mathcal {F}})=\iint _{\mathcal {F}}1\,\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }2\,\mathrm {d} \varphi =4\pi r^{2}}$.

Das vektorielle Oberflächenintegral

Das vektorielle Oberflächenintegral einer vektorwertigen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ über eine Oberfläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ mit regulärer Parametrisierung ${\displaystyle \varphi \colon B\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ist definiert als

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}{\vec {f}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {\sigma }}=\iint _{B}{\vec {f}}\left({\vec {\varphi }}(u,v)\right)\cdot ({\vec {\varphi }}_{u}\times {\vec {\varphi }}_{v})\,\,\mathrm {d} (u,v)=:\Phi _{\mathcal {F}}({\vec {f}})}$.

Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den Fluss ${\displaystyle \Phi }$ eines Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {f}}}$ durch die Fläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$: Die Größe ${\displaystyle {\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$ gibt an, welchen Beitrag zum Gesamtfluss ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}({\vec {f}})}$ der infinitesimal-kleine Oberflächen-Vektor ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}={\hat {n}}\,\mathrm {d} \sigma }$ liefert; nämlich wie viel von ${\displaystyle {\vec {f}}}$ durch das Oberflächenstück ${\displaystyle \mathrm {d} {\sigma }}$ fließt. Der Fluss ist maximal, wenn das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ parallel zur Flächennormale ${\displaystyle {\hat {n}}}$ steht, und null, wenn ${\displaystyle {\vec {f}}}$ senkrecht zu ${\displaystyle {\hat {n}}}$ steht, also tangential zur Oberfläche ist – dann "fließt" ${\displaystyle {\vec {f}}}$ entlang der Oberfläche, aber nicht durch sie hindurch.

Beispiel: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Kugeloberfläche

Gegeben sei ein radialsymmetrisches Vektorfeld

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\dfrac {C}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}}$

mit einer Konstanten ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$, dem Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ und seinem Betrag ${\displaystyle r}$. Bei dem Vektor ${\displaystyle {\dfrac {\vec {r}}{r}}}$ handelt es sich somit um einen Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors. In der Physik ist zum Beispiel das elektrische Feld einer Punktladung ${\displaystyle Q}$ im Koordinatenursprung von dieser Form: siehe Coulombsches Gesetz.

Aus Symmetriegründen verwendet man Kugelkoordinaten. Das vektorielle Oberflächenelement ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$ für eine Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}=r^{2}\sin \theta \cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$.

Für den Fluss ${\displaystyle \Phi }$ des Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})}$ durch die Oberfläche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ ergibt sich:

${\displaystyle \Phi =\iint _{\mathcal {F}}{\dfrac {C}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} {\vec {\sigma }}=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\dfrac {C}{r^{2}}}{\dfrac {\vec {r}}{r}}\cdot r^{2}\sin \theta \cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =C\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =C\int \limits _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} \varphi =4\pi C}$.

Der Fluss ${\displaystyle \Phi }$ des Vektorfeldes durch die Kugeloberfläche ist somit unabhängig vom Kugelradius ${\displaystyle r}$. Für das physikalische Beispiel des elektrischen Feldes einer Punktladung ist dieses Ergebnis ein Spezialfall des Gaußschen Gesetzes der Elektrostatik.