Endliche Produktionsgeschwindigkeit

Als Kosten je Zeiteinheit ergeben sich

${\displaystyle K(\tau )={\frac {f}{\tau }}+{\frac {1}{2}}l_{\mathrm {max} }c}$

mit

• ${\displaystyle l_{\mathrm {max} }}$ und ${\displaystyle t^{p}}$ sind Hilfsgrößen:
  • ${\displaystyle t^{p}=q/p}$
  • ${\displaystyle l_{\mathrm {max} }=q-t^{p}b=q(1-\rho )=b(1-\rho )\tau }$
• ${\displaystyle \tau }$ - Zyklusdauer
• ${\displaystyle c}$ - Lagerhaltungskosten je Zeiteinheit
• ${\displaystyle f}$ - fixe Rüstkosten je Rüstvorgang
• ${\displaystyle b}$ - Bedarf pro Zeit (Absatzgeschwindigkeit)
• ${\displaystyle p}$ - Produktion pro Zeit (Produktionsgeschwindigkeit)
• ${\displaystyle q}$ - Losgröße
• ${\displaystyle \rho$ :=b/p} - Belegungszeitanteil auf der Maschine

Als Kosten ergeben sich somit ${\displaystyle K(\tau )={\frac {f}{\tau }}+{\frac {1}{2}}b(1-\rho )\tau c}$ bzw. ${\displaystyle K(q)={\frac {fb}{q}}+{\frac {1}{2}}q(1-\rho )c}$.

Durch ableiten und Nullsetzen erhält man die optimalen Größen ${\displaystyle q^{*}={\sqrt {\frac {2bf}{c(1-\rho )}}}}$ bzw. ${\displaystyle \tau ^{*}={\sqrt {\frac {2f}{c(1-\rho )b}}}}$.

Weitere Verallgemeinerungen

• Rabatte: Es werden zwei verschiedene Ausprägungen unterschieden:
  • Der Rabatt bezieht sich auf die gesamte Bestellmenge. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die gesamte Menge
  • Der Rabatt bezieht sich auf alle Einheiten über einer bestimmten Grenze. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die Menge die 1000 überschreitet.

Für beide Fälle lässt sich im ersten Schritt für die einzelnen Rabattstaffeln das Standardmodell anwenden mit entsprechenden minimalen Kosten. Durch einen Vergleich der einzelnen Minima erhält man das globale Minimum.

• Sprungfixe Lagerkosten
• Veränderliche Einstandspreise

Beispielmodell

Ein einfaches Modell mit Kapazitätsbeschränkung sieht wie folgt aus:

• Die einzelnen Produkte werden in einem gemeinsamen Lager gelagert. Die Kapazität sei ${\displaystyle \kappa }$ [m²]
• ${\displaystyle b_{j}}$ sei der Bedarf des Produktes ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ in Mengeneinheiten pro Zeiteinheit [ME/ZE]
• ${\displaystyle f_{j}}$ fixe Losauflagekosten / (fixe Bestellkosten) für Produkt j
• ${\displaystyle c_{j}}$ Lagerhaltungskosten für Produkt j
• ${\displaystyle k_{j}}$ Kapazitätsbedarf einer ME von Produkt j (z. B. m² an Stellfläche)
• ${\displaystyle w:=c_{j}b_{j}/2}$ wird zur Vereinfachung der Darstellung benutzt

Die Zielfunktion ist

${\displaystyle \min K(q)=\sum _{j=1}^{n}(b_{j}/q_{j}f_{j}+0{,}5c_{j}q_{j})}$

Unter den Nebenbedingungen

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}\leqq \kappa }$

Im ungünstigsten Fall werden alle Lose zeitgleich aufgelegt. Die Summe der noch zu bestimmenden Losgrößen muss also kleiner oder gleich der Lagerkapazität ${\displaystyle \kappa }$ sein.

${\displaystyle q_{j}>0}$

Lösung des Modells

Vernachlässigt man die Lagerkapazität und wendet für jedes Produkt die Formel des Standardmodells an, so erhält man als optimale Losgröße bzw. optimale Zyklusdauer:

${\displaystyle q_{j}^{e}={\sqrt {\frac {2b_{j}f_{j}}{c_{j}}}}\quad {\text{und}}\quad \tau _{f}^{e}={\frac {q_{j}^{e}}{b_{j}}}={\sqrt {\frac {f_{j}}{w_{j}}}}}$

Falls die Kapazitätsrestriktion erfüllt ist, hat man die optimale Lösung gefunden. Falls nicht so gilt:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}=\kappa }$

Die Lagerkapazität wird also vollständig genutzt. Die optimale Losgröße ergibt sich durch Lagrange-Multiplikation mit der Kapazitätsrestriktion:

${\displaystyle L(q,\lambda )=\sum _{j=1}^{n}(b_{j}/q_{j}f_{j}+0{,}5c_{j}q_{j})+\lambda \left(\sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}-\kappa \right)}$

Leitet man nun nach ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ und ${\displaystyle \lambda }$ ab, so erhält man ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und Unbekannten.

Man erhält

${\displaystyle q_{j}^{*}={\sqrt {\frac {2b_{j}f_{j}}{c_{j}+2\lambda k_{j}}}}}$

die optimalen Loßgrößen in Abhängigkeit von ${\displaystyle \lambda }$.

Diese kann man in die partiellen Ableitungen einsetzen und erhält eine streng monotone Funktion die an einer Stelle den Wert ${\displaystyle \kappa }$ annimmt:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}k_{j}{\sqrt {\frac {2b_{j}f_{j}}{c_{j}+2\lambda k_{j}}}}=\kappa }$

Diese Stelle lässt sich mit iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren bestimmen.