Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

${\displaystyle \,\zeta =\arccos \left(\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)}$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss ${\displaystyle \zeta }$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für ${\displaystyle \zeta }$ im Bogenmaß; falls ${\displaystyle \zeta }$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit ${\displaystyle \pi /180}$° multipliziert werden).

Der Winkel ${\displaystyle \zeta }$ kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.

Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\zeta )}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\zeta )}}\right)}$

Die beiden Parameter ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden ${\displaystyle \phi _{A}}$ bzw. ${\displaystyle \phi _{B}}$ und ${\displaystyle \lambda _{A}}$ bzw. ${\displaystyle \lambda _{B}}$ bestimmen:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)}$

rechtweisende Kurse A → B

${\displaystyle \,rwK_{A}=\alpha }$

${\displaystyle \,rwK_{B}=180^{\circ }-\beta }$

rechtweisende Kurse B → A

${\displaystyle \,rwK_{B}=360^{\circ }-\beta }$

${\displaystyle \,rwK_{A}=180^{\circ }+\alpha }$

Nördlichster Punkt

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

${\displaystyle \,\phi _{N}=\arccos \left(\sin(|\alpha _{A}|)\cdot \cos(\phi _{A})\right)}$

${\displaystyle \lambda _{N}=\lambda _{A}+\operatorname {sgn} (\alpha _{A})\cdot \left|\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right)\right|}$

Winkelberechnung

${\displaystyle \,\phi _{A}=52{,}517^{\circ }}$

${\displaystyle \,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }}$

${\displaystyle \,\phi _{B}=35{,}70^{\circ }}$

${\displaystyle \,\lambda _{B}=139{,}767^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\,\zeta &=\arccos {\Big (}\sin(\phi _{A})\sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cos(\phi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}\\&=\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}517^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13{,}40^{\circ }){\Big )}\\&=\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))\\&=\arccos(0{,}1700)\\&=80{,}212^{\circ }\end{aligned}}}$

bzw. ${\displaystyle \,\zeta =1{,}400}$ im Bogenmaß

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6366 km ausgegangen.

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}$

Oder für ${\displaystyle \,\zeta }$ im Bogenmaß:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\zeta \cdot 6366\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}$

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\phi _{A}&=&52{,}516666666666667^{\circ }\\\lambda _{A}&=&13{,}400^{\circ }\\\phi _{B}&=&35{,}700^{\circ }\\\lambda _{B}&=&139{,}766666666666667^{\circ }\\\\f&=&0{,}00335281066474748\\a&=&6378{,}137\ \mathrm {km} \\F&=&44{,}108333333333333^{\circ }\\G&=&8{,}408333333333333^{\circ }\\l&=&-63{,}183333333333333^{\circ }\\S&=&0{,}41498261872684\\C&=&0{,}58501738127316\\w&=&0{,}699965690768276\\D&=&8928{,}9541420394\ \mathrm {km} \\T&=&0{,}70391883329502\\H_{1}&=&0{,}95019099899696\\H_{2}&=&3{,}74926124548527\\\\s&=&8941{,}20250458698\ \mathrm {km} \end{array}}}$

Der Abstand ${\displaystyle s}$ ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.