Extrempunkte einer Kurvenschar

Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der durch ${\displaystyle f_{a}(x)=x^{3}-3a^{2}x}$ gegebenen Funktionenschar haben die ${\displaystyle x}$-Koordinaten ${\displaystyle x=\pm a}$ (mit ${\displaystyle a\neq 0}$). Die Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle y=-2x^{3}}$ ist die Ortskurve aller Extrempunkte, da alle Extrempunkte der einzelnen Funktionsgraphen auf dieser Kurve liegen.

Wendepunkte einer Kurvenschar

Wenn man z. B. die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionenschar

${\displaystyle f_{t}(x)=tx^{4}-4t^{2}x^{2}}$ mit ${\displaystyle t>0}$

bestimmen möchte, geht man folgendermaßen vor:

1. Wendestellen bestimmen:

   ${\displaystyle w_{1}=+{\sqrt {\tfrac {2t}{3}}}}$ und ${\displaystyle w_{2}=-{\sqrt {\tfrac {2t}{3}}}}$

2. Da der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur ${\displaystyle y}$-Achse ist, kann man mit einer einzigen Wendestelle weiterarbeiten.
3. ${\displaystyle x}$-Koordinate in Gleichung schreiben:

   ${\displaystyle x={\sqrt {\tfrac {2t}{3}}}}$

4. ${\displaystyle x}$-Gleichung nach Parameter ${\displaystyle t}$ auflösen:

   ${\displaystyle t={\tfrac {3x^{2}}{2}}}$

5. Gleichung von ${\displaystyle t}$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

   ${\displaystyle y={-7{,}5x^{6}}}$

Die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionen ${\displaystyle f_{t}}$ hat also die Gleichung ${\displaystyle o_{\text{w}}(x)={-7{,}5x^{6}}\,\,;x\neq 0}$.