Definition

${\displaystyle P(U,V,W)={\frac {1}{V_{EZ}}}\sum _{h=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }|F(hkl)|^{2}\cdot {\text{exp}}[-2\pi {\text{i}}(hU+kV+lW)]}$

mit

• ${\displaystyle V_{EZ}}$ = Volumen der Elementarzelle
• ${\displaystyle F(hkl)}$ = indizierter Strukturfaktor
  • ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ = Laue-Indizes
• ${\displaystyle U,V,W}$ = Ortsvektor innerhalb der Elementarzelle
• ${\displaystyle i}$ = imaginäre Einheit.

Nach dem Faltungstheorem der Fouriertransformation kann man die Pattersonfunktion auch schreiben als Paarkorrelationsfunktion:

${\displaystyle P(U,V,W)=P(\mathbf {U} )=\int \limits _{0}^{a}\int \limits _{0}^{b}\int \limits _{0}^{c}\rho (\mathbf {R} )\rho (\mathbf {R+U} ){\text{d}}\mathbf {R} }$

mit

• ${\displaystyle \rho (x)}$ = Elektronendichte am Ort x.

Eigenschaften

• Wenn die Struktur aus ${\displaystyle N}$ Atomen besteht, dann sagt die Patterson-Funktion ${\displaystyle N^{2}}$ Beugungsreflexe voraus.
• Die Translationssymmetrie der Elektronendichte und der Patterson-Funktion sind gleich. In anderen Worten: beide Elementarzellen sind gleich groß; allerdings hat die Elementarzelle der Elektronendichte ${\displaystyle N}$ Peaks, die der Patterson-Funktion ${\displaystyle N^{2}}$ Peaks.
• Das Maximum der Patterson-Funktion ist immer am Ursprung (0,0,0) und stellt den interatomaren Vektor eines Atoms mit sich selbst dar.
• Die Patterson-Funktion ist immer zentrosymmetrisch, selbst wenn die Kristallsymmetrie und damit die Elektronendichte nicht zentrosymmetrisch ist. Wenn es einen Vektor zwischen den Atomen A und B gibt, dann gibt es auch den umgekehrten Vektor zwischen B und A.
• Die Patterson-Reflexe aus der Fouriertransformation der Betragsquadrate der Strukturfaktoren sind viel weniger scharf als die Reflexe aus der Fouriertransformation der Strukturfaktoren (vgl. folgender Abschnitt).

Geschärfte Patterson-Funktion

Weil die normale Patterson-Funktion viele unscharfe Reflexe liefert, werden häufig geschärfte Patterson-Funktionen eingesetzt (englisch: sharpened Patterson functions), die zu schärferen Reflexen führen. Meistens beruhen diese Verfahren auf normalisierten Strukturfaktoren ${\displaystyle E}$. Diese ${\displaystyle E}$-Werte sind von den Strukturfaktoren ${\displaystyle F}$ abgeleitet, so dass sie Punktatomen bzw. Atomen im Ruhezustand entsprechen; sie enthalten also eine Korrektur der thermischen Bewegung. Die geschärfte Patterson-Funktion wird dann als Fouriertransformation von ${\displaystyle \left|E\right|^{2}}$ oder besser ${\displaystyle \left|EF\right|}$ berechnet.

In der Literatur erscheinen regelmäßig auch andere Methoden, um scharfe Patterson-Reflexe bildlich zu erzeugen.