Definition

Eine reelle Zahl ${\displaystyle T}$ ist eine Periode einer in ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R} }$ definierten Funktion, wenn für jedes ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$ gilt:

• ${\displaystyle x+T}$ ist in ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$ und
• ${\displaystyle f(x+T)=f(x)\;.}$

Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode ${\displaystyle T\neq 0}$ zulässt. Man sagt dann auch, ${\displaystyle f}$ sei „${\displaystyle T}$-periodisch“.

Für ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {R} }$, was oft der Fall ist, ist die erste Eigenschaft immer erfüllt.

Eigenschaften der Perioden

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

• Ist ${\displaystyle T}$ eine Periode von ${\displaystyle f}$, so ist auch ${\displaystyle -T}$ eine Periode von ${\displaystyle f}$;
• Sind ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ zwei Perioden von ${\displaystyle f}$, so ist auch ${\displaystyle k_{1}T_{1}+k_{2}T_{2}}$ mit ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$ eine Periode von ${\displaystyle f}$.

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn ${\displaystyle f}$ eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von ${\displaystyle f}$ die Vielfachen von ${\displaystyle T}$. Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von ${\displaystyle f}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Beispiele

Periodische Fortsetzung

Im Beispiel zur Definition wurde im oberen Teil des Bildes eine auf einem halboffenen Intervall ${\displaystyle (a,b]}$ gegebene Funktion durch einfaches Verschieben um ganzzahlige Vielfache von ${\displaystyle b-a}$ zu einer periodischen Funktion der Periode ${\displaystyle T=b-a}$ fortgesetzt. Diese Art nennt man direkte periodische Fortsetzung, zum Unterschied der geraden und ungeraden periodischen Fortsetzung.

Die folgende formale Definition liefert auch eine Möglichkeit, eine periodisch fortgesetzte Funktion mit einem Computer auszuwerten, da die verwendete Abrundungsfunktion in vielen Mathematik-Systemen direkt oder indirekt realisiert ist.

Definition
Ist eine Funktion ${\displaystyle f_{0}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ mit ${\displaystyle f_{0}(a)=f_{0}(b)}$ gegeben, dann ist die Funktion ${\displaystyle f}$ mit

${\displaystyle f(x)=f_{0}{\big (}x-\left\lfloor {\frac {x-a}{T}}\right\rfloor \cdot T{\big )},\;x\in \mathbb {R} }$

die (direkte) periodische Fortsetzung von ${\displaystyle f_{0}}$ auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \;T=b-a\;}$ ihre Periode.
${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ist die Abrundungsfunktion. Die Verwendung der Abrundungsfunktion stellt sicher, dass die Funktion ${\displaystyle f_{0}}$ nur für x-Werte aus ihrem Definitionsbereich ausgewertet wird (s. Bild).

Beispiel: Periodische Fortsetzung des Parabelbogens ${\displaystyle f_{0}(x)=(x-1)(4-x),\;a=1,b=4}$ mit der Periode ${\displaystyle \;T=b-a=3\;}$. Der Funktionswert an der Stelle (z. B.) ${\displaystyle x=8}$

${\displaystyle f(8)=f_{0}{\big (}8-\lfloor {\frac {7}{3}}\rfloor \cdot 3{\big )}=f_{0}(8-2\cdot 3)=f_{0}(2)=2\;.}$

Da periodische Funktionen oft in Fourier-Reihen entwickelt werden und eine gerade/ungerade periodische Funktion ausschließlich mit Kosinus/Sinus-Termen darstellbar ist, sind die folgenden Fortsetzungen von besonderem Interesse:

Ungerade Fortsetzung:
In diesem Fall geht man von einer auf dem Intervall ${\displaystyle [0,b]}$ definierte Funktion ${\displaystyle f_{0}}$ mit ${\displaystyle f_{0}(0)=f_{0}(b)=0}$ aus. In einem ersten Schritt setzt man die Funktion durch Spiegeln am Nullpunkt auf das Intervall ${\displaystyle [-b,0]}$ fort:

${\displaystyle f_{u}(x)={\begin{cases}\quad f_{0}(x)\;,\ \quad 0\leq x\leq b\\-f_{0}(-x)\;,\;-b\leq x<0\ .\end{cases}}}$

Die auf dem Intervall ${\displaystyle [-b,b]}$ definierte Funktion ${\displaystyle f_{u}}$ wird jetzt (wie oben beschrieben) direkt periodisch fortgesetzt. Dadurch entsteht eine auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definierte ungerade periodische Funktion ${\displaystyle f}$ der Periode ${\displaystyle T=2b}$.

Gerade Fortsetzung:
Die analoge Prozedur mit

${\displaystyle f_{g}(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad \ \ 0\leq x\leq b\\f_{0}(-x),\;-b\leq x<0\end{cases}}}$

liefert eine gerade periodische Funktion der Periode ${\displaystyle T=2b}$.

Fourierreihe: Beispiel

Die Fourierreihe einer ${\displaystyle 2\pi }$-periodischen ungeraden Funktion ${\displaystyle f}$ hat die Form

${\displaystyle \;\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left(kt\right)\;}$

mit

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \sin \left(kt\right)\mathrm {d} t\quad {\text{für }}k\geq 1\;.}$

Das Ziel einer Fourierreihenentwicklung ist die Approximation einer periodischen Funktion auf (ganz !) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durch Summen von einfachen periodischen Funktionen. Im Idealfall stellt die Fourierreihe die gegebene Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dar. (Eine Potenzreihenentwicklung approximiert eine Funktion, die kein Polynom ist, mit ihren Partialsummen auf einem beschränkten (!) Intervall durch Polynome.)

Im Bild wird eine auf dem Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$ gegebene Funktion ${\displaystyle f_{0}}$ (zwei Geradenstücke, rot) ungerade zu einer ${\displaystyle 2\pi }$-periodischen Funktion ${\displaystyle f}$ fortgesetzt und dann in eine Fourierreihe (nur mit sin-Termen) entwickelt. Man erkennt, wie gut/schlecht Teilsummen der Fourierreihe (der Längen n= 3,6,12) die Funktion ${\displaystyle f_{0}}$ approximieren. Während ${\displaystyle f_{0}}$ unstetig ist (sie hat Sprungstellen), sind die Teilsummen als Summen von sin-Termen alle stetig.

Im Beispiel ist

${\displaystyle f_{0}(x)={\begin{cases}x\;,\ \quad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\\2{,}5\;,\;{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \\0\;,\qquad x=\pi \ .\end{cases}}}$

und die Teilsumme für n=3:

${\displaystyle \;\sum _{k=1}^{3}b_{k}\sin \left(kt\right)={\frac {1}{\pi }}{\big (}7\sin x+({\frac {\pi }{2}}-5)\sin 2x+{\frac {13}{9}}\sin 3x{\big )}\ .}$

Periodische Folgen

Da eine reelle Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Funktion von den natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodisch, falls es ein ${\displaystyle T}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Gleichheit ${\displaystyle a_{n+T}=a_{n}}$ gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Exponentialfunktion

Die (komplexe) Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ ist eine ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$-periodische Funktion. Diese Eigenschaft zeigt sich nur bei der Exponentialfunktion mit komplexem Definitionsbereich. Beweisen kann man sie mit der eulerschen Formel.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei ${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}$ der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit Periode ${\displaystyle T}$ mit Funktionen auf ${\displaystyle S^{1}}$ identifizieren: Einer Funktion ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle S^{1}}$ entspricht die ${\displaystyle T}$-periodische Funktion

${\displaystyle x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \textstyle x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})}$ eine Funktion auf dem Einheitskreis, also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}}$ unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}}$.