Fast gleichmäßige Konvergenz

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz μ-fast überall. Denn per Definition gibt es für jede Nullfolge ${\displaystyle \delta _{k}}$ eine Menge ${\displaystyle A_{k}}$, so dass ${\displaystyle \mu (A_{k})<\delta _{k}}$ und dass ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf ${\displaystyle X\setminus A_{k}}$ gleichmäßig konvergiert. Dann ist aber ${\displaystyle A=\cap _{k=1}^{\infty }A_{k}}$ eine Nullmenge und die Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert punktweise gegen die Funktion

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\chi _{X\setminus A}(x)}$

und somit auch punktweise fast überall.

Im Falle eines endlichen Maßraumes liefert der Satz von Jegorow auch die Umkehrung, also dass aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall die fast gleichmäßige Konvergenz folgert. Somit fallen für endliche Maßräume die punktweise Konvergenz fast überall und die fast gleichmäßige Konvergenz zusammen. Das folgende Beispiel zeigt, dass der Schluss von der punktweisen Konvergenz fast überall zur fast gleichmäßigen Konvergenz bei nicht endlichen Maßräumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=\chi _{[n,n+1]}(x)}$

auf dem Maßraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )}$, so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise fast überall gegen 0, denn für beliebiges ${\displaystyle x}$ ist für ${\displaystyle n\geq x+2}$ immer

${\displaystyle f_{n}(x)-0=\chi _{[n,n+1]}(x)-0=0}$.

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn es ist für ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle 0\leq \mu (A)<1}$ immer ${\displaystyle [n,n+1]\setminus A\neq \emptyset }$ und somit

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} \setminus A}|f_{n}(x)-0|=1}$

für alle ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \mu (A)<1}$. Also kann keine fast gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Konvergenz nach Maß

Aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall folgt im Falle eines endlichen Maßraumes die Konvergenz nach Maß, da dann der Satz von Jegorow gilt und die fast gleichmäßige Konvergenz die Konvergenz nach Maß impliziert.

Hierbei kann auf die Endlichkeit des Maßraumes nicht verzichtet werden, wie folgendes Beispiel zeigt: für den Maßraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )}$ ist die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=\chi _{[n,n+1]}(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ punktweise konvergent gegen 0. Aber sie ist nicht nach Maß konvergent gegen 0, denn für ${\displaystyle \varepsilon \in (0,1]}$ ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda (\{|\chi _{[n,n+1]}-0|\geq \varepsilon \})=1}$.

Die Umkehrung, also der Schluss von der Konvergenz nach Maß zu der Konvergenz fast überall gilt auch bei endlichen Maßräumen nicht wie das Beispiel im Abschnitt Konvergenz lokal nach Maß zeigt.

Konvergenz lokal nach Maß

Aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall folgt die Konvergenz lokal nach Maß. Denn schränkt man den Maßraum auf eine Menge ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$ ein, betrachtet also den Maßraum ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}}|_{A},\mu |_{A})}$. Dieser eingeschränkte Maßraum ist ein endlicher Maßraum, demnach gilt dort der Satz von Jegorow. Dieser liefert die fast gleichmäßige Konvergenz auf dem eingeschränkten Maßraum, diese wiederum impliziert die Konvergenz nach Maß. Da dieser Schluss aber für jede Einschränkung auf Mengen endlichen Maßes gilt, konvergiert die Funktionenfolge auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ lokal nach Maß.

Die Umkehrung gilt aber nicht, es folgt also aus der Konvergenz lokal nach Maß nicht die Konvergenz fast überall. Ein Beispiel lässt sich wie folgt konstruieren: Man betrachtet die Intervalle

${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }=[0,1],[0,{\tfrac {1}{2}}],[{\tfrac {1}{2}},1],[0,{\tfrac {1}{3}}],[{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}],[{\tfrac {2}{3}},1],[0,{\tfrac {1}{4}}],[{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {2}{4}}],\dots }$

Dann konvergiert die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=\chi _{I_{n}}(x)}$

auf dem Maßraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda |_{[0,1]})}$ lokal nach Maß gegen 0, denn für ${\displaystyle \varepsilon \in (0,1]}$ ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda (\{f_{n}\geq \varepsilon \})=\lim _{n\to \infty }\lambda (I_{n})=0}$. Aber die Funktionenfolge konvergiert nicht punktweise fast überall gegen 0, denn ein beliebiges ${\displaystyle x}$ ist in unendlich vielen ${\displaystyle I_{n}}$ enthalten und ebenso in unendlich vielen ${\displaystyle I_{n}}$ nicht enthalten. Somit nimmt ${\displaystyle \chi _{I_{n}}}$ an jeder Stelle unendlich oft die Werte 0 und 1 an, kann also nicht konvergieren.

Konvergenz im p-ten Mittel

Aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall folgt im Allgemeinen nicht die Konvergenz im p-ten Mittel. Ebenso folgt aus der Konvergenz im p-ten Mittel im Allgemeinen nicht die punktweise Konvergenz μ-fast überall.

Ein Beispiel hierfür ist die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=n^{2}\chi _{[0,{\tfrac {1}{n}}]}(x)}$.

auf dem Maßram ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda )}$. Sie konvergiert fast sicher punktweise gegen 0, aber es ist

${\displaystyle \|f_{n}\|_{1}=n\;{\text{ und damit }}\lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{1}=\infty }$.

Betrachtet man umgekehrt die Folge von Intervallen

${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }=[0,1],[0,{\tfrac {1}{2}}],[{\tfrac {1}{2}},1],[0,{\tfrac {1}{3}}],[{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}],[{\tfrac {2}{3}},1],[0,{\tfrac {1}{4}}],[{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {2}{4}}],\dots }$

und definiert die Funktionenfolge als

${\displaystyle f_{n}(x)=\chi _{I_{n}}(x)}$,

so ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{1}=0}$, da die Breite der Intervalle gegen 0 konvergiert. Die Folge konvergiert aber nicht fast sicher punktweise gegen 0, da an einer beliebigen Stelle ${\displaystyle x}$ jeder der Werte 0 und 1 beliebig oft angenommen wird.

Allerdings besitzt jede im p-ten Mittel konvergente Folge eine fast sicher konvergente Teilfolge mit demselben Grenzwert. Im obigen Beispiel könnte man beispielsweise Indizes ${\displaystyle n_{k}}$ auswählen, so dass

${\displaystyle I_{n_{k}}=[0,{\tfrac {1}{m}}]}$

für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ist. Dann konvergieren auch die ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ fast sicher punktweise gegen 0.

Ein Kriterium, unter dem aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall die Konvergenz im p-ten Mittel folgt, liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz. Er sagt aus, dass wenn zusätzlich zur Konvergenz fast überall noch eine Majorante aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ existiert, auch die Konvergenz im p-ten Mittel folgt. Allgemeiner genügt es, wenn anstelle der Existenz einer Majorante nur die gleichgradige Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird, denn aus der Konvergenz fast überall folgt die Konvergenz lokal nach Maß. Somit kann dann bei gleichgradiger integrierbarkeit im p-ten Mittel mittels des Konvergenzsatzes von Vitali auf die Konvergenz im p-ten Mittel geschlossen werden. Die Majorante ist aus dieser Perspektive bloß ein hinreichendes Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit.