Da sich das Integral der Normalverteilung

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t}$

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige ${\displaystyle \mu }$- und ${\displaystyle \sigma }$-Werte, sondern nur für die standardisierte Form der Normalverteilung, bei der jeweils ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle \sigma =1}$ ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung, Standardnormalverteilung oder normierten Normalverteilung). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \sigma }$-Normalverteilungen nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen. Die folgende Tabelle der Standardnormalverteilung berechnet sich demnach durch

${\displaystyle \Phi _{0;1}(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t}$

(weil ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle \sigma =1}$) für ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$.

Flächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung

${\displaystyle \Phi _{0;1}(z)\,}$ →

Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, da ${\displaystyle \Phi (-z)=1-\Phi (z)}$ ist.

Arbeiten mit der Tabelle

Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \Phi (z)}$ für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges ${\displaystyle \Phi (-z)=1-\Phi (z)}$ (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von ${\displaystyle z}$ zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \Phi (z)}$ für Werte von ${\displaystyle z}$ im Intervall von 0 bis 4,09 gesucht, so steht ${\displaystyle z}$ bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort, wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen, steht die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \Phi (z)}$.

Übersteigt ${\displaystyle z}$ die Grenze von 4,09, dann gilt

${\displaystyle \Phi (z)\approx 1}$, für ${\displaystyle z>4{,}09.}$

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige ${\displaystyle z}$ gesucht ist. Hier kann derjenige Wert ${\displaystyle \Phi (z)}$ angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man ${\displaystyle z}$ aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem ${\displaystyle z}$ von 1,32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein ${\displaystyle z}$ von 1,33 ergäbe). Das genauere Ergebnis für ${\displaystyle z}$ von 1,321 erhält man durch die übliche (lineare) Interpolation, die hier ergibt (0,90670 - 0,90658) / (0,90824 - 0,90658) = 12/166, was rund 0,1 ist. Um diese 0,1 der Differenz von 1,32 und 1,33, also um 0,001, ist damit der untere Wert 1,32 auf 1,321 zu erhöhen.

Anmerkung: Wurde eine beliebige ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \sigma }$-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert, so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht mehr rücktransformiert werden, da eine flächengleiche Transformation vorliegt. (Wurde hingegen ${\displaystyle z}$ aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze ${\displaystyle x}$ noch durch ${\displaystyle x=z\sigma +\mu }$ berechnet werden.)

Beispielrechnung

Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ von 5 und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ zwischen den Werten ${\displaystyle x_{1}=3}$ und ${\displaystyle x_{2}=7}$ liegt.

Betrachtet man die Gaußsche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$, mit ${\displaystyle \mu =5}$ und ${\displaystyle \sigma =2}$,

welche durch ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t}$

transformiert werden (siehe Normalverteilung § Definition). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), sodass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$; ebenfalls wird die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ transformiert.

Dies geschieht durch

${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$ bzw. ${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}.}$

(Das heißt, bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden; sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3\leq X\leq 7)&=\\&=P\left({\frac {x_{1}-\mu }{\sigma }}\leq Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x_{2}-\mu }{\sigma }}\right)\\&=P(-1\leq Z\leq 1)\\&=P(Z\leq 1)-P(Z\leq -1)\\&=\Phi (1)-\Phi (-1).\end{aligned}}}$

Während man nun den Wert für ${\displaystyle \Phi (1)}$ einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für ${\displaystyle \Phi (-1)}$ überlegen, dass die gesuchte Fläche (bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von ${\displaystyle -\infty }$ bis zur Grenze −1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis ${\displaystyle \infty }$. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also ${\displaystyle \Phi (+1)}$ abgezogen, das heißt

${\displaystyle \Phi (-1)=1-\Phi (1).}$

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (1)-\Phi (-1)&=\Phi (1)-(1-\Phi (1))\\&=2\Phi (1)-1\qquad \Phi (1){\text{ der Tabelle entnehmen}}\\&=2\cdot 0{,}84134-1\\&=0{,}68268,\end{aligned}}}$

das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent.

Quantile

In statistischen Anwendungen, z. B. im Rahmen von Hypothesentests zum Auffinden kritischer Werte, stellt sich oft auch die Frage: Welchen Wert hat das ${\displaystyle q}$-Quantil ${\displaystyle z_{q}}$, wann also gilt ${\displaystyle \Phi (z_{q})=q}$?

Sucht man z. B. das 97,5-%-Quantil ${\displaystyle z_{0{,}975}}$, d. h. ${\displaystyle \Phi (z_{0{,}975})=0{,}975}$, dann ergibt sich laut nebenstehender Tabelle ${\displaystyle z_{0{,}975}\approx 1{,}959960\approx 1{,}96}$ (gerundet auf sechs bzw. auf zwei Nachkommastellen).

${\displaystyle q}$	0,750	0,800	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995
${\displaystyle z_{q}}$	0,674490	0,841621	1,281550	1,644850	1,959960	2,326350	2,575830

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 

Weblinks