Die schnelle Fourier-Transformation (englisch fast Fourier transform, daher meist FFT abgekürzt) ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Mit ihr kann ein zeitdiskretes Signal in seine Frequenzanteile zerlegt und dadurch analysiert werden.

Analog gibt es für die diskrete inverse Fourier-Transformation die inverse schnelle Fourier-Transformation (IFFT). Es kommen bei der IFFT die gleichen Algorithmen, aber mit konjugierten Koeffizienten zur Anwendung.

Die FFT hat zahlreiche Anwendungen im Bereich der Ingenieurwissenschaften, der Naturwissenschaften und der angewandten Mathematik. Außerdem kommt sie in Mobilfunktechnologien wie UMTS und LTE und bei der drahtlosen Datenübertragung zum Einsatz, etwa in der WLAN-Funknetztechnik.

Die FFT gehört zu den Teile-und-herrsche-Verfahren, sodass – im Gegensatz zur direkten Berechnung – zuvor berechnete Zwischenergebnisse wiederverwendet und dadurch arithmetische Rechenoperationen eingespart werden können.

Historisch wurde die erste Form des Algorithmus 1805 von Carl Friedrich Gauß entdeckt und zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden (2) Pallas und (3) Juno verwendet. Zum ersten Mal publiziert wurde eine Variante des Algorithmus von Carl Runge im Jahre 1903 und 1905. Es folgten weitere Adaptionen, beispielsweise von Irving John Good um 1960. Das heute bekannteste Verfahren der Fouriertransformation wird James Cooley und John W. Tukey zugeschrieben, die es auf der Suche nach einem Algorithmus, um Kernwaffentests in seismografischen Daten schnell und effizient aufzuspüren, entdeckten und 1965 veröffentlichten. Nach Cooley und Tukey hat es darüber hinaus zahlreiche weitere Verbesserungsvorschläge und Variationen gegeben, so etwa von Georg Bruun, C. M. Rader und Leo I. Bluestein.

Informelle Beschreibung des Algorithmus (Cooley und Tukey)

Der Algorithmus von Cooley und Tukey ist ein klassisches Teile-und-herrsche-Verfahren. Voraussetzung für seine Anwendung ist, dass die Anzahl der Stützstellen bzw. Abtastpunkte eine Zweierpotenz ist.

Der Algorithmus basiert auf der Beobachtung, dass die Berechnung einer DFT der Größe 2n in zwei Berechnungen einer DFT der Größe n zerlegbar ist (über den Vektor mit den Einträgen der geraden bzw. der ungeraden Indizes), wobei die beiden Teilergebnisse nach der Transformation wieder zu einer Fouriertransformation der Größe 2n zusammenzufassen sind.

Da die Berechnung einer DFT der halben Länge nur ein Viertel der komplexen Multiplikationen und Additionen der originalen DFT benötigt, und je nach Länge des Ausgangsvektors diese Vorschrift mehrfach hintereinander anwendbar ist, erlaubt die rekursive Anwendung dieser Grundidee schließlich eine Berechnung in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n\log n)}$ Zeit; zur Einsparung von trigonometrischen Rechenoperationen können bei der FFT zusätzlich die Eigenschaften der Einheitswurzeln aus der Fouriermatrix ausgenutzt werden.

Algorithmus von Cooley und Tukey

Die diskrete Fouriertransformation (DFT) eines Vektors ${\displaystyle (x_{0},\dotsc ,x_{2n-1})}$ der Dimension ${\displaystyle 2n}$ lautet

${\displaystyle f_{m}=\sum _{k=0}^{2n-1}x_{k}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} }{2n}}mk}\qquad m=0,\dotsc ,2n-1}$.

Die Einträge mit geraden Indizes werden notiert als

${\displaystyle x'_{k}:=x_{2k},\quad k=0,\dotsc ,n-1}$

und deren DFT der Dimension ${\displaystyle n}$ als ${\displaystyle (f'_{k})}$.

Entsprechend seien die Einträge mit ungeraden Indizes notiert als

${\displaystyle x''_{k}:=x_{2k+1},\quad k=0,\dotsc ,n-1}$

mit DFT ${\displaystyle (f''_{k})}$.

Dann folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}&=\sum _{k=0}^{n-1}x_{2k}\mathrm {e} ^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} }{2n}}m(2k)}+\sum _{k=0}^{n-1}x_{2k+1}\mathrm {e} ^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} }{2n}}m(2k+1)}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{n-1}x'_{k}\mathrm {e} ^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}mk}+\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi \mathrm {i} }{n}}m}\sum _{k=0}^{n-1}x''_{k}\mathrm {e} ^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}mk}\\[0.5em]&={\begin{cases}f'_{m}+\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi \mathrm {i} }{n}}m}f''_{m}&{\text{ falls }}m<n\\[0.5em]f'_{m-n}-\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi \mathrm {i} }{n}}(m-n)}f''_{m-n}&{\text{ falls }}m\geq n\;.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Mit der Berechnung von ${\displaystyle f'_{m}}$ und ${\displaystyle f''_{m}}$ (${\displaystyle m=0,\dotsc ,n-1}$) ist sowohl ${\displaystyle f_{m}}$ als auch ${\displaystyle f_{m+n}}$ bestimmt. Der Rechenaufwand hat sich durch diese Zerlegung also praktisch halbiert.

Mathematische Beschreibung (allgemeiner Fall)

In der Mathematik wird die schnelle diskrete Fouriertransformation in einem wesentlich allgemeineren Kontext behandelt:

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer unitärer Ring. In ${\displaystyle R}$ sei die Zahl ${\displaystyle 2=1+1}$ eine Einheit (d. h. invertierbar); ferner sei ${\displaystyle w\in R}$ eine ${\displaystyle 2^{n}}$-te Einheitswurzel mit ${\displaystyle w^{2^{n-1}}=-1}$. Zum Beispiel ist im Restklassenring

${\displaystyle R=\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle N=2^{d2^{n}}+1}$, ${\displaystyle d,n\in \mathbb {N} }$, d ungerade (das ist gleichbedeutend mit der Forderung „teilerfremd zu ${\displaystyle 2^{n}}$“),

das Element ${\displaystyle w=2^{2d}}$ eine solche Einheitswurzel, die entsprechende FFT wird im Schönhage-Strassen-Algorithmus verwendet.

Dann lässt sich im Modul ${\displaystyle R^{2^{n}}}$ zu ${\displaystyle a\in R^{2^{n}}}$ die diskrete Fouriertransformierte ${\displaystyle {\hat {a}}}$ mit

${\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{2^{n}-1}a_{j}\cdot w^{j\cdot k}\qquad (k=0,\ldots ,2^{n}-1)}$

wie folgt optimiert berechnen:

Zunächst stellen wir die Indizes ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$ wie folgt dyadisch dar:

${\displaystyle k=\sum _{\nu =0}^{n-1}k_{\nu }2^{\nu },\quad j=\sum _{\nu =0}^{n-1}j_{\nu }2^{n-1-\nu }}$.

Damit haben wir folgende Rekursion:

${\displaystyle A_{0}(j_{0},\ldots ,j_{n-1})=a_{j}\qquad (j=0,\ldots ,2^{n}-1)}$,

${\displaystyle A_{r+1}(k_{0},\ldots ,k_{r},j_{r+1},\ldots ,j_{n-1})=\sum _{j_{r}=0}^{1}A_{r}(k_{0},\ldots ,k_{r-1},j_{r},\ldots ,j_{n-1})\cdot w^{j_{r}\cdot 2^{n-1-r}\cdot (k_{r}2^{r}+\ldots +k_{0}2^{0})}}$.

Wegen

${\displaystyle A_{n}(k_{0},\ldots ,k_{n-1})={\hat {a}}_{k}}$

erhalten wir hieraus die diskrete Fouriertransformierte ${\displaystyle {\hat {a}}\in R^{2^{n}}}$.

Komplexität

Diese klassische Variante der FFT nach Cooley und Tukey ist im Gegensatz zur DFT nur durchführbar, wenn die Länge des Eingangsvektors einer Zweierpotenz entspricht. Die Anzahl der Abtastpunkte kann also beispielsweise 1, 2, 4, 8, 16, 32 usw. betragen. Man spricht hier von einer Radix-2-FFT. Andere Längen sind mit den unten angeführten alternativen Algorithmen möglich.

Aus obiger Rekursion ergibt sich folgende Rekursionsgleichung für die Laufzeit der FFT:

${\displaystyle T\left(N\right)=2T\left(N/2\right)+f(N)\;.}$

Hierbei beschreibt der Term ${\displaystyle f(N)}$ den Aufwand, um die Ergebnisse mit einer Potenz der Einheitswurzel zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren. Es werden N Paare von Zahlen addiert und N/2 Zahlen mit Einheitswurzeln multipliziert. Insgesamt ist f(N) also linear beschränkt:

${\displaystyle T\left(N\right)=2T\left(N/2\right)+{\mathcal {O}}\left(N\right)\;.}$

Mit dem Master-Theorem ergibt sich eine Laufzeit von:

${\displaystyle T\left(N\right)={\mathcal {O}}(N\cdot \log(N))\;.}$

Die Struktur des Datenflusses kann durch einen Schmetterlingsgraphen beschrieben werden, der die Reihenfolge der Berechnung festlegt.

Implementierung als rekursiver Algorithmus

Die direkte Implementierung der FFT in Pseudocode nach obiger Vorschrift besitzt die Form eines rekursiven Algorithmus:

• Das Feld mit den Eingangswerten wird einer Funktion als Parameter übergeben, die es in zwei halb so lange Felder (eins mit den Werten mit geradem und eins mit den Werten mit ungeradem Index) aufteilt.
• Diese beiden Felder werden nun an neue Instanzen dieser Funktion übergeben.
• Am Ende gibt jede Funktion die FFT des ihr als Parameter übergebenen Feldes zurück. Diese beiden FFTs werden nun, bevor eine Instanz der Funktion beendet wird, nach der oben abgebildeten Formel zu einer einzigen FFT kombiniert und das Ergebnis wird an den Aufrufer zurückgegeben.

Dies wird nun fortgeführt, bis das Argument eines Aufrufs der Funktion nur noch aus einem einzigen Element besteht (Rekursionsabbruch): Die FFT eines einzelnen Wertes ist (er besitzt sich selbst als Gleichanteil und keine weiteren Frequenzen) er selbst. Die Funktion, die nur noch einen einzigen Wert als Parameter erhält, kann also ganz ohne Rechnung die FFT dieses Wertes zurückliefern; die Funktion, die sie aufgerufen hat, kombiniert die beiden jeweils einen Punkt langen FFTs, die sie zurückerhält, die Funktion, die diese wiederum aufgerufen hat, die beiden 2-Punkte-FFTs, und so weiter.

${\displaystyle \mathrm {function} \ \operatorname {fft} (n,{\vec {f}}):}$

${\displaystyle \mathrm {if} \ (n=1)}$

${\displaystyle \mathrm {return} \ {\vec {f}}}$

${\displaystyle \mathrm {else} \ }$

${\displaystyle {\vec {g}}=\operatorname {fft} \left({\tfrac {n}{2}},(f_{0},f_{2},\ldots ,f_{n-2})\right)}$

${\displaystyle {\vec {u}}=\operatorname {fft} \left({\tfrac {n}{2}},(f_{1},f_{3},\ldots ,f_{n-1})\right)}$

${\displaystyle \mathrm {for} \ k=0\ \mathrm {to} \ {\tfrac {n}{2}}-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=g_{k}+u_{k}\cdot \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} k/n}\\c_{k+n/2}=g_{k}-u_{k}\cdot \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} k/n}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {return} \ {\vec {c}}}$

Der Geschwindigkeitsvorteil der FFT gegenüber der DFT kann anhand dieses Algorithmus gut abgeschätzt werden:

• Um die FFT eines ${\displaystyle 2^{N}}$ Elemente langen Vektors zu berechnen, sind bei Verwendung dieses Algorithmus ${\displaystyle N}$ Rekursionsebenen nötig. Dabei verdoppelt sich in jeder Ebene die Anzahl der zu berechnenden Vektoren, während sich deren Länge jeweils halbiert, so dass am Ende in jeder bis auf die letzte Rekursionsebene genau ${\displaystyle n=2^{N}}$ komplexe Multiplikationen und Additionen notwendig sind. Die Gesamtzahl der Additionen und Multiplikationen beträgt also ${\displaystyle N\cdot 2^{N}}$.
• Im Gegensatz benötigt die DFT für denselben Eingangsvektor ${\displaystyle (2^{N})^{2}=2^{2N}}$ komplexe Multiplikationen und Additionen.

Implementierung als nichtrekursiver Algorithmus

Die Implementierung eines rekursiven Algorithmus ist im Regelfall vom Ressourcenverbrauch her nicht ideal, da die vielen dabei notwendigen Funktionsaufrufe Rechenzeit und Speicher für das Merken der Rücksprungadressen benötigen. In der Praxis wird daher meist ein nichtrekursiver Algorithmus verwendet, der gegenüber der hier abgebildeten, auf einfaches Verständnis optimierten Form je nach Anwendung noch optimiert werden kann:

• Wenn im obigen Algorithmus zuerst die beiden Hälften des Feldes miteinander vertauscht werden, und dann die beiden Hälften dieser Hälften usw., dann ist das Ergebnis am Ende dasselbe, als würden alle Elemente des Feldes von 0 aufsteigend nummeriert werden und anschließend die Reihenfolge der Bits der Nummern der Felder umgekehrt.
• Nachdem die Eingangswerte solchermaßen umsortiert sind, bleibt nur noch die Aufgabe, die einzelnen kurzen FFTs von der letzten Rekursionsebene nach außen zu längeren FFTs zu kombinieren, z. B. in Form dreier ineinandergeschachtelter Schleifen:
  • Die äußerste Schleife zählt die Rekursionsebene ${\displaystyle {\text{Ebene}}}$ durch (von 0 bis N − 1).
  • Die nächste Schleife zählt die ${\displaystyle 2^{N-{\text{Ebene}}-1}}$ FFT-Abschnitte durch, in der die FFT in dieser Rekursionsebene noch aufgeteilt ist. Der Zähler dieser Schleife wird im Folgenden als ${\displaystyle {\text{Abschnitt}}}$ bezeichnet.
  • Die innerste Schleife zählt das Element innerhalb eines FFT-Abschnittes (im Folgenden ${\displaystyle {\text{Element des Abschnitts}}}$ genannt) durch (von 0 bis ${\displaystyle 2^{{\text{Ebene}}+1}-1}$)
  • In der innersten dieser Schleifen werden nun immer die beiden Samples mit den folgenden beiden Indizes:

${\displaystyle {\text{links}}=2^{{\text{Ebene}}+1}\cdot {\text{Abschnitt}}+{\text{Element des Abschnitts}}}$

${\displaystyle {\text{rechts}}={\text{links}}+2^{\text{Ebene}}}$

über einen Schmetterlingsgraphen kombiniert:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x_{\text{links,neu}}&=&x_{\text{links}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi {\frac {\text{Element des Abschnitts}}{2^{\text{Ebene}}}}}\cdot x_{\text{rechts}}\\x_{\text{rechts,neu}}&=&x_{\text{links}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi {\frac {\text{Element des Abschnitts}}{2^{\mathrm {Ebene} }}}}\cdot x_{\text{rechts}}\;.\end{array}}}$

Alternative Formen der FFT

Neben dem oben dargestellten FFT-Algorithmus von Cooley und Tukey, auch Radix-2-Algorithmus genannt, existieren noch eine Reihe weiterer Algorithmen zur schnellen Fourier-Transformation. Die Varianten unterscheiden sich darin, wie bestimmte Teile des „naiven“ Algorithmus so umgeformt werden, dass weniger (Hochpräzisions-)Multiplikationen notwendig sind. Dabei gilt meist, dass die Reduktion in der Anzahl der Multiplikationen eine erhöhte Anzahl von Additionen sowie von gleichzeitig im Speicher zu haltenden Zwischenergebnissen hervorruft.

Im Folgenden sind übersichtsartig einige weitere Algorithmen dargestellt. Details und genaue mathematische Beschreibungen samt Herleitungen finden sich in der unten angegebenen Literatur.

Die inverse FFT

Die Inverse der diskreten Fourier-Transformation (DFT) stimmt bis auf den Normierungsfaktor und ein Vorzeichen mit der DFT überein. Da die schnelle Fourier-Transformation ein Algorithmus zur Berechnung der DFT ist, gilt dies dann natürlich auch für die IFFT.

Anwendungen

Literatur

Weblinks

• Hans Werner Lang (1997): Schnelle Fouriertransformation (FFT) – Beschreibung der Fourier-Transformation und Einheitswurzeln, auf der Seite der Hochschule Flensburg (deutsch)
• Bedeutung der FFT-Analyse in der Audiotechnik – (Beispiel-Grafik: Rechtecksignal) (deutsch)
• Fast Fourier Transform (FFT) – Einführung in die FFT für Nichtstudierte, z. B. Auszubildende (deutsch)
• FFTW – Programmbibliothek (in C) zur Berechnung der DFT (englisch)
• Paul Bourke (1993): D F T (Discrete Fourier Transform) – F F T (Fast Fourier Transform) (schöner FFT-Code in C, in 1D und 2D) (englisch)
• Kevin McGee: An introduction to signal processing and fast fourier transform (FFT). Archiviert vom Original am 7. Juli 2019; abgerufen am 27. April 2010 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Ein Algorithmus für den Weltfrieden
2. ↑ The re-discovery of the fast Fourier transform algorithm
3. ↑ JPEG (Transform Compression). Abgerufen am 27. Juli 2021.