Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten

Im Folgenden sei ${\displaystyle V}$ eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring ${\displaystyle K[V]}$. Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, ${\displaystyle K(V)}$ bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus ${\displaystyle K(V)}$ werden als rationale Funktionen auf ${\displaystyle V}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle f\in K(V)}$ und ${\displaystyle x\in V}$, so wird ${\displaystyle f}$ regulär in ${\displaystyle x}$ genannt, wenn ${\displaystyle g,h\in K[V]}$ existieren mit:

${\displaystyle h(x)\neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {g}{h}}}$

Ist ${\displaystyle f\in K(V)}$, so wird die Menge der Elemente, in denen ${\displaystyle f}$ regulär ist, als Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$, als ${\displaystyle \mathrm {dom} (f)}$, bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten

${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien ${\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{l}}$ und ${\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ Varietäten über einem Körper ${\displaystyle k}$. Eine rationale Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ ist ein Tupel

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})}$

mit ${\displaystyle f_{i}\in K(V)}$ und ${\displaystyle (f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in W}$ für alle ${\displaystyle x\in \bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {dom} (f_{i})\subset V}$

Die Abbildung heißt in ${\displaystyle x\in V}$ regulär, falls alle ${\displaystyle f_{i}}$ in ${\displaystyle x}$ regulär sind. Der Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ ist

${\displaystyle \mathrm {dom} (f)=\bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {dom} (f_{i})}$

Eine rationale Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ ist also nicht auf ganz ${\displaystyle V}$ definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset V}$.

Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:

${\displaystyle f:V{\text{⇢}}W}$

Dominante rationale Abbildungen

Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

${\displaystyle f\colon \mathbb {A} _{k}^{1}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{2}}$

${\displaystyle f\colon x\mapsto (x,0)}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {A} _{k}^{2}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{1}}$

${\displaystyle g\colon (x,y)\mapsto ({\frac {x}{y}})}$ also ${\displaystyle \mathrm {dom} (g)=\{(x,y)\in \mathbb {A} _{k}^{2}|y\neq 0\}}$

denn

${\displaystyle f(\mathbb {A} _{k}^{1})\cap \mathrm {dom} (g)=\emptyset }$

Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

${\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}$

heißt dominant, wenn ${\displaystyle f(\mathrm {dom} (f))}$ eine in ${\displaystyle W}$ dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen

Eine birationale Abbildung

${\displaystyle \phi \colon X{\text{⇢}}Y}$

ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung

${\displaystyle \psi \colon Y{\text{⇢}}X}$

gibt mit

${\displaystyle \psi \circ \phi =id_{X}}$

und

${\displaystyle \phi \circ \psi =id_{Y}}$

Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.

Neilsche Parabel

Sei ${\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{2}}$ die Neilsche Parabel, die durch das Polynom

${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

definiert ist. Der Morphismus

${\displaystyle \phi \colon A_{k}^{1}\to V}$

${\displaystyle x\mapsto (x^{2},x^{3})}$

ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf ${\displaystyle V}$ lässt sich durch

${\displaystyle \psi \colon (x,y)\mapsto ({\frac {y}{x}})}$

eine rationale Abbildung definieren mit

${\displaystyle \mathrm {dom} (\psi )=V\setminus (0,0)}$

für die gilt:

${\displaystyle \psi \circ \phi =id_{A_{k}^{1}}}$ und ${\displaystyle \phi \circ \psi =id_{V}}$.

Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.

Projektion im projektiven Raum

Die Projektion

${\displaystyle p\colon \mathbb {P} _{k}^{n}{\text{⇢}}\mathbb {P} _{k}^{n-1}}$

${\displaystyle p\colon (a_{0}:\ldots :a_{n})\mapsto (a_{1}:\ldots :a_{n})}$

ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt

${\displaystyle (1:0:\ldots :0)}$

nicht regulär.

Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt

${\displaystyle (1:0)}$

nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist

${\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (a_{1}),}$

und

${\displaystyle (0)\notin P_{k}^{0}}$

Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als

${\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (1),}$

Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.