Eine vektorwertige Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Zielmenge ein mehrdimensionaler Vektorraum ist. Vektorwertige Funktionen werden insbesondere in der mehrdimensionalen Analysis, der Differentialgeometrie und der Funktionalanalysis untersucht.

Definition

Eine Funktion

${\displaystyle f\colon D\to V}$

heißt vektorwertig, wenn ihre Zielmenge ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum ist. Insbesondere ist die Struktur der Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ nicht relevant, nur die der Zielmenge.

In vielen Fällen wird als Vektorraum der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ verwendet, solche Funktionen heißen dann auch reell-vektorwertig. Ist der Vektorraum der ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, so heißen die Funktionen analog komplex-vektorwertig.

Beispiele

• Die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$, definiert durch

${\displaystyle f(x)={\begin{pmatrix}x^{2}\\-3x\end{pmatrix}}}$

ist eine reell-vektorwertige Funktion.

• Die Parameterdarstellung einer Kurve in zwei oder mehr Dimensionen ist eine reell-vektorwertige Funktion von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Eine vektorwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ^{n}}$ wird im Fall ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ auch Vektorfeld genannt.

Literatur

Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, gewöhnliche Differentialgleichungen. 10., verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, doi:10.1007/978-3-658-02357-7.