Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe

Sei ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} die Einheitskreisscheibe in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dann besteht für ${\displaystyle p>0}$ der Hardy-Raum ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$ aus allen holomorphen Funktionen ${\displaystyle F:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$, für die gilt

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\;{\rm {d}}\theta \right)^{1/p}<\infty .}$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „${\displaystyle H^{p}}$-Norm“ von ${\displaystyle F}$ bezeichnet, in Symbolen ${\displaystyle \|F\|_{H^{p}}}$.

Für ${\displaystyle p=\infty }$ setzt man ${\displaystyle \textstyle \|F\|_{H^{\infty }(\mathbb {D} )}=\textstyle \|F\|_{\infty }=\sup _{z\in \mathbb {D} }|F(z)|}$ und versteht unter ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {D} )}$ den Funktionenraum der beschränkten holomorphen Funktionen ${\displaystyle F:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$, also den Raum, für den diese Supremumsnorm der darin liegenden Funktionen ${\displaystyle <\infty }$ ist.

Hardy-Räume auf der oberen Halbebene

Sei ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}}$ die obere Halbebene in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dann besteht für ${\displaystyle p>0}$ der Hardy-Raum ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {H} )}$ aus allen holomorphen Funktionen ${\displaystyle F:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$, für die gilt

${\displaystyle \sup _{y>0}\left(\int _{0}^{\infty }\left|F(x+iy)\right|^{p}\;{\rm {d}}x\right)^{1/p}<\infty .}$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „${\displaystyle H^{p}}$-Norm“ von ${\displaystyle F}$ bezeichnet, in Symbolen ${\displaystyle \|F\|_{H^{p}(\mathbb {H} )}}$.

Für ${\displaystyle p=\infty }$ setzt man ${\displaystyle \textstyle \|F\|_{H^{\infty }(\mathbb {H} )}=\sup _{z\in \mathbb {H} }|F(z)|}$ und definiert ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {H} )}$ als Raum aller holomorphen Funktionen ${\displaystyle F:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$, für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen ${\displaystyle H^{p}}$ die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob ${\displaystyle D=\mathbb {D} }$ oder ${\displaystyle D=\mathbb {H} }$); üblicherweise ist es der Raum ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$ von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

Definition

Sei ${\displaystyle \phi \in S}$ eine Schwartz-Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \phi _{t}(x)=t^{-n}\phi (t^{-1}x)}$ für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei ${\displaystyle f\in S'}$ eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion ${\displaystyle m_{\phi }(f)}$ und die nicht-tangentiale Maximalfunktion ${\displaystyle M_{\phi }(f)}$ definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\phi }(f)(x)=&\sup _{t>0}|f*\phi _{t}(x)|,\\M_{\phi }(f)(x)=&\sup _{|y-x|<t<\infty }|f*\phi _{t}(y)|.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle *}$ die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für ${\displaystyle f\in S'(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$, dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

1. ${\displaystyle m_{\phi }(f)\in L^{p}}$ für ein ${\displaystyle \phi \in S}$ mit ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi \neq 0}$,
2. ${\displaystyle M_{\phi }(f)\in L^{p}}$ für ein ${\displaystyle \phi \in S}$ mit ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi \neq 0}$,
3. ${\displaystyle M_{\phi }(f)\in L^{p}}$ für jedes ${\displaystyle \phi \in S}$ und ${\displaystyle M_{\phi }(f)}$ ist in einer geeigneten Teilmenge ${\displaystyle U\subset S}$ gleichmäßig beschränkt in ${\displaystyle \phi }$.

Man definiert den reellen Hardy-Raum ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare Zerlegung

Insbesondere ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$-Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}}$-Atom ist für ${\displaystyle p\leq 1}$ eine Funktion ${\displaystyle a}$, so dass gilt:

1. ${\displaystyle a}$ hat ihren Träger in einem Ball ${\displaystyle B}$;
2. ${\displaystyle |a|\leq \mu (B)^{-1/p}}$ fast überall; und
3. ${\displaystyle \int _{B}x^{\beta }a(x)\mathrm {d} \mu (x)\,=\,0}$ für alle ${\displaystyle \beta }$ mit ${\displaystyle |\beta |\leq n(p^{-1}-1)}$.

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|a(x)|^{p}\mathrm {d} x\leq 1}$ und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}(M_{\Phi }(a)(x))^{p}\mathrm {d} x\leq c}$.

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle p\leq 1}$ kann ${\displaystyle f}$ als Reihe von ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}}$-Atomen ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle f=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}}$

geschrieben werden. Dabei ist ${\displaystyle (\lambda _{k})_{k}}$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}<\infty }$. Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}}$ konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {H}}^{p}}\leq c\left(\sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\right)^{1/p}}$.

Verbindung zu den Hardy-Räumen

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall ${\displaystyle 1-1/n<p<\infty }$. Der interessante Fall ${\displaystyle p=1}$ wird also mit abgehandelt und für ${\displaystyle n=1}$ erhält man die ganze Spanne ${\displaystyle 0<p<\infty }$.

Seien

${\displaystyle u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}:\mathbb {R} _{+}^{n+1}\to \mathbb {R} }$

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}=0}$ und

${\displaystyle {\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}}$

für ${\displaystyle 0\leq j,k\leq n}$ erfüllen.

Jede Funktion ${\displaystyle u_{j}}$ ist also eine harmonische Funktion und im Fall ${\displaystyle n=1}$ entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f=u_{0}+iu_{1}}$ bezüglich der Variablen ${\displaystyle x_{1}+ix_{0}}$.

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion ${\displaystyle u}$ genau dann eine der drei äquivalenten ${\displaystyle H^{p}}$-Bedingungen, falls eine Funktion ${\displaystyle F=(u,u_{1},\ldots ,u_{n})}$ existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche ${\displaystyle L^{p}}$-beschränkt ist, was

${\displaystyle \sup _{x_{0}>0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x,x_{0})|^{p}\mathrm {d} x<\infty }$

bedeutet.

Weitere Eigenschaften

• Für ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$ gilt analog ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\cong L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$. Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$-Räumen identifiziert werden.
• Für den Fall ${\displaystyle p=1}$ kann man ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ als echte Teilmenge von ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ auffassen.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\cap L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ liegt für ${\displaystyle 0<p<\infty }$ dicht in ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$.
• Der Hardy-Raum ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.