Der Dreisatz (in Österreich stattdessen: Schlussrechnung; früher auch: Regeldetri, Regel Detri, Regel de Tri oder Regula de Tri von lateinisch regula de tribus [terminis] ‚Regel von drei [Gliedern]‘ bzw. französisch Règle de trois; auch Goldene Regel, Verhältnisgleichung, Proportionalität, Schlussrechnung oder kurz Schlüsse genannt) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

Einfacher Dreisatz

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, desto mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, …) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, …).
• Gegeben ist ein Verhältnis von ${\displaystyle a}$ Einheiten einer Größe A zu ${\displaystyle b}$ Einheiten einer Größe B.
• Gefragt wird nach der Anzahl ${\displaystyle x}$ Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu ${\displaystyle c}$ Einheiten von A stehen.

In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:

Größe A	Größe B
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle x}$

Inhaltliches Lösen

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

1. ${\displaystyle a}$ Einheiten von A entsprechen ${\displaystyle b}$ Einheiten von B.
2. Einer Einheit von A entsprechen ${\displaystyle b:a}$ Einheiten von B.
3. ${\displaystyle c}$ Einheiten von A entsprechen also ${\displaystyle x=c\cdot (b:a)}$ Einheiten von B.

In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.

Größe A	Größe B	Rechenschritt
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle :a}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle b:a}$	${\displaystyle \cdot c}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle c\cdot (b:a)}$

Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (siehe Beispiel 1).

Umgekehrter Dreisatz

• Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim Halbieren (Dritteln, …) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, …).
• Dabei ergeben ${\displaystyle a}$ Einheiten einer Größe A mit ${\displaystyle b}$ Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
• Gefragt wird nach der Anzahl ${\displaystyle x}$ Einheiten der Größe B, die mit ${\displaystyle c}$ Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: ${\displaystyle a\cdot b=c\cdot x}$.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:

Rechne:	Größe A	Größe B	Rechne:
durch ${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	mal ${\displaystyle a}$
mal ${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a\cdot b}$	durch ${\displaystyle c}$
	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a\cdot b/c}$

Verallgemeinerter Dreisatz

Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein (vgl. Beispiel 3).

Ausgehend von ${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}\ \mathrel {\widehat {=}} \ d_{1}}$ kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems ${\displaystyle a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2}\ \mathrel {\widehat {=}} \ x}$ bestimmen. Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von ${\displaystyle a_{1}}$ zu ${\displaystyle a_{2}}$ über, dann von ${\displaystyle b_{1}}$ zu ${\displaystyle b_{2}}$ und schließlich von ${\displaystyle c_{1}}$ zu ${\displaystyle c_{2}}$). Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:

1. ${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}\ \mathrel {\widehat {=}} \ d_{1}}$
2. ${\displaystyle 1\ \mathrel {\widehat {=}} \ {\frac {d_{1}}{a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}}}}$
3. ${\displaystyle x\ \mathrel {\widehat {=}} \ {\frac {d_{1}\cdot a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2}}{a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}}}}$

Beispiele

Weblinks

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Direkte Proportionalität

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Indirekte Proportionalität

Wikibooks: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}$ Mathematik für die Schule – Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

• Pädagogisches Institut der deutschen Sprachgruppe Bozen
• Dreisatz. In: Serlo.

Einzelnachweise

1. ↑ Regeldetri. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 16, Bibliographisches Institut, Leipzig/Wien 1908, S. 698.
2. ↑ Regel Detri. In: Conversations-Lexikon. 1. Auflage. Kunst- und Industriecomptoir, Amsterdam 1809 (zeno.org). 
3. ↑ Regula de Tri. In: Herders Conversations-Lexikon. 1. Auflage. Herder’sche Verlagsbuchhandlung, Freiburg im Breisgau 1854 (zeno.org). 
4. ↑ Goldene Regel. In: Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit. 4., umgearb. und stark vermehrte Auflage, Band 7: Gascognisches Meer–Hannok, Eigenverlag, Altenburg 1859, S. 450.
5. ↑ Euklid: Die Elemente. II. Teil. Buch V und VI. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Clemens Thaer (Hrsg.). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933.
6. ↑ Adam Ries(e): Rechnung auf Linien und Federn … anno 1532. 114. Auflage. Magistrat der Stadt Erfurt, 1991, Pag. Biii.