Gebrochenrationale Funktionen

Ist ${\displaystyle f={\tfrac {p}{q}}}$ Quotient zweier Polynome mit ${\displaystyle \deg \,p+2\leq \deg \,q}$ und ${\displaystyle q(z)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$, ist

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}f(z)}$,

wobei ${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} z>0\}} die obere Halbebene ist, denn man kann mit ${\displaystyle \alpha \colon [0,\pi ]\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle t\mapsto Re^{\mathrm {i} t}}$ für ein großes ${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$, über den geschlossenen Halbkreis ${\displaystyle \Gamma$ :=[-R,R]\oplus \alpha } integrieren und den Grenzübergang ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$ vollziehen. Wegen ${\displaystyle \left|{\tfrac {p(z)}{q(z)}}\right|\leq {\tfrac {c_{p}|z|^{\deg \,p}}{c_{q}|z|^{\deg \,q}}}\leq {\tfrac {c}{|z|^{2}}}}$ für großes ${\displaystyle |z|}$ und Konstanten ${\displaystyle c,c_{p},c_{q}\in \mathbb {R} }$ folgt mit der Standardabschätzung für Kurvenintegrale

${\displaystyle \left|\int _{\alpha }f\right|\leq L(\alpha )\cdot \max _{\zeta \in \operatorname {im} \alpha }\left|f(\zeta )\right|\leq \pi R\cdot {\frac {c}{R^{2}}}\rightarrow 0\,(R\rightarrow \infty )}$,

also gilt ${\displaystyle \textstyle \int _{\Gamma }f\rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z\,(R\rightarrow \infty )}$ und wegen der obigen Abschätzung existiert letzteres Integral auch. Mit dem Residuensatz folgt die Berechnungsformel.

Beispiel: Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{\pm \mathrm {i} \}\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+1}}}$ mit Polen 1. Ordnung in ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$. Dann ist ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\mathrm {i} }f(z)={\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}}$, und damit ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}=\pi }$.

Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion

${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ seien Polynome mit ${\displaystyle \deg(P)+1\leq \deg(Q)}$, das Polynom ${\displaystyle Q}$ besitze keine reellen Nullstellen und die Nullstellen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ in der oberen komplexen Halbebene. Dann gilt für jedes ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}\exp(i\alpha x)\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{a_{i}}f(z)}$

mit ${\displaystyle f(z):={\frac {P(z)}{Q(z)}}\exp(i\alpha z)}$. Wie oben definiert man auch hier einen geschlossenen Weg ${\displaystyle \Gamma }$, der aus dem geradlinigen Weg von ${\displaystyle -r}$ nach ${\displaystyle r}$ besteht, aber statt des Halbkreises verwendet man das darüber errichtete Rechteck mit Höhe ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$, das gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Die Funktion ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {P(z)}{Q(z)}}}$ kann nach Voraussetzung gegen eine Konstante ${\displaystyle C}$ mal ${\displaystyle {\tfrac {1}{|z|}}}$ abgeschätzt werden. Die Integrale über den vertikalen Strecken sind dann mittels Standardabschätzung ${\displaystyle \leq C{\tfrac {1}{\sqrt {r}}}}$, was gegen Null geht. Für die obere horizontale Seite ist ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)={\sqrt {r}}}$ und damit ${\displaystyle |\exp(i\alpha z)|=\exp(-\alpha {\sqrt {r}})}$. Das Integral über diese Rechtecksseite ist dann mittels Standardabschätzung ${\displaystyle \leq 2C{\sqrt {r}}\exp(-\alpha {\sqrt {r}})}$. Damit folgt, dass das Integral über den gesamten oberen Teil des Rechtecks für ${\displaystyle r\to \infty }$ gegen Null konvergiert und man erhält die Behauptung.

Beispiel: Betrachte die Funktion ${\displaystyle {\frac {x\exp {(2ix)}}{x^{2}+1}}}$. Sie erfüllt alle oben genannten Bedingungen: Das Polynom im Nenner hat als Nullstellen nur ${\displaystyle \pm i}$ und damit keine auf der reellen Achse. Demnach gilt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\exp {2ix}}{(x+i)(x-i)}}\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \operatorname {Res} _{i}f(z)=i\pi \exp {(-2)}}$

Gebrochenrationale Funktion mit einem nichtganzzahligen Term

Sind ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ Polynome, für die ${\displaystyle \deg \,Q>\deg \,P+\lambda }$ gilt, wobei ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}\backslash \mathbb {Z} }$ gilt, ${\displaystyle Q}$ habe keine Nullstellen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle P/Q}$ keine Nullstelle in der Null. Dann gilt

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}{\frac {P(x)}{Q(x)}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin {(\lambda \pi )}}}\sum _{p\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R^{+}} }\operatorname {Res} _{p}(-z)^{\lambda -1}{\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

Beispiel: Ist ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3/2-1}}{x^{2}+1}}}$, so ist ${\displaystyle \lambda =3/2}$, die Funktion besitzt die Pole ${\displaystyle \pm i}$ und alle weiteren Anforderungen sind auch erfüllt. Es ist demnach ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\pm i}f(z)={\frac {(\mp i)^{1/2}}{\pm 2i}}}$. Somit gilt

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=-\pi \left({\frac {\sqrt {-i}}{2i}}+{\frac {\sqrt {i}}{-2i}}\right)={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}$

Trigonometrische Funktionen

Ist ${\displaystyle r={\tfrac {p}{q}}}$ Quotient zweier Polynome mit ${\displaystyle q(x,y)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }r(\cos t,\sin t)\mathrm {d} t&=\int _{0}^{2\pi }r\left({\frac {e^{\mathrm {i} t}+e^{-\mathrm {i} t}}{2}},{\frac {e^{\mathrm {i} t}-e^{-\mathrm {i} t}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {1}{\mathrm {i} z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} {z}\\&=2\pi \sum _{a\in \mathbb {E} }\operatorname {Res} _{a}\left({\frac {1}{z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\right),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \mathbb {E}$ :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} die Einheitskreisscheibe ist. Denn die Windungszahl der Einheitskreislinie ist im Innern des Einheitskreises ${\displaystyle 1}$, und nach Voraussetzung liegen keine Singularitäten auf der Einheitskreislinie. Theoretisch lassen sich solche Integrale auch mittels der Weierstraß-Substitution lösen, diese ist aber meist aufwendiger. Sind die Intervallgrenzen des zu berechnenden Integrals nicht genau ${\displaystyle 2\pi }$ und ${\displaystyle 0}$, so lässt sich dies mittels einer linearen Substitution oder durch Symmetrieargumente erreichen.

Beispiel: Es gilt

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} t}{2+\sin t}}=2\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}=4\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}}$,

denn ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}}$ hat in ${\displaystyle \left(-2\pm {\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }$ Pole 1. Ordnung, aber nur der Pol bei ${\displaystyle \left(-2+{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }$ liegt in ${\displaystyle \mathbb {E} }$, und dort hat ${\displaystyle f}$ das Residuum ${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}}$.

Fourier-Transformierte

Gegeben sei eine Funktion ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )\cap L^{1}(\mathbb {R} )}$. Ferner gebe es Punkte ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{k}\in \mathbb {H} }$ mit ${\displaystyle f\in \mathbb {O} (\{z,\operatorname {Im} z>-\varepsilon \}\cap \{a_{1},\dotsc ,a_{k}\})}$, wobei ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sei. Gibt es dann zwei Zahlen ${\displaystyle C,\delta >0}$ mit ${\displaystyle \left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta }}$ für große ${\displaystyle \left|z\right|}$, so gilt für alle ${\displaystyle x>0}$ die Formel

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y)e^{\mathrm {i} xy}\mathrm {d} y=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}(f(z)e^{\mathrm {i} xz}).}$

Die gleiche Formel gilt für ${\displaystyle x<0}$. Mit Hilfe dieser Methode können komplizierte Fourier-Integrale berechnet werden. Der Beweis erfolgt wie oben durch Zerlegung des Integrationswegs in den Teil auf der reellen Achse und den Teil in der oberen Halbebene. Danach wird wieder der Grenzwert betrachtet und das Integral über die Kurve in der oberen Halbebene verschwindet aufgrund des Lemmas von Jordan.