Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Integralgeometrie. Er besagt, dass jede stetige und unter Isometrien invariante Bewertung kompakter, konvexer Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ eine Linearkombination von Quermaßintegralen ist.

Begriffe

Eine stetige Bewertung ist ein reellwertiges Funktional ${\displaystyle v}$ auf der Menge aller kompakten, konvexen Teilmengen ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$ und ${\displaystyle v(S\cup T)+v(S\cap T)=v(S)+v(T)}$ für alle ${\displaystyle S,T}$, welches stetig bezüglich der Hausdorff-Metrik ist.

Die Quermaßintegrale sind Funktionale ${\displaystyle W_{0},\ldots ,W_{n}}$, die als Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB^{n})=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}}$

für die Einheitskugel ${\displaystyle B^{n}}$ und jeden kompakten, konvexen Körper ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ definiert sind.

Satz von Hadwiger

Jede stetige Bewertung ${\displaystyle v}$, die invariant unter allen Isometrien des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist, ist eine Linearkombination von Quermaßintegralen:

${\displaystyle v(K)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(K)}$

mit von ${\displaystyle K}$ unabhängigen Koeffizienten ${\displaystyle c_{j}}$.

Literatur

• D.A. Klain, G.-C. Rota: Introduction to geometric probability. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-59362-X (archive.org). 
• B. Chen: A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem. In: Geom. Dedicata. 105. Jahrgang, 2004, S. 107–120, doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.