Satz von Krein-Šmulian

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Ist $E$ ein Banachraum, so sei $E_{r}'$ die abgeschlossene $r$ -Kugel im Dualraum von $E$ , wobei $r>0$ sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also $M\subset E'$ eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen $M\cap E_{r}',\,r>0$ schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen $M$ auch die Umkehrung gilt:

Satz von Krein-Šmulian: Seien $E$ ein Banachraum und $M\subset E'$ eine konvexe Menge. Wenn $M\cap E_{r}'$ für jedes $r>0$ schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch $M$ schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Ein Beispiel

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn $M$ nicht konvex ist. Dazu seien $F_{n}\subset E^{'}$ $n$ -dimensionale Teilräume mit $F_{1}\subset F_{2}\subset F_{3}\subset \ldots$ und $S_{n}:=\{f\in F_{n};\|f\|=n\}$ sei die Kugelfläche mit Radius $n$ in $F_{n}$ . Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz $M_{n}\subset S_{n}$ . Setze $M=M_{1}\cup M_{2}\cup M_{3}\cup \ldots .$ .

Dann ist $M\cap E_{r}'$ für jedes $r>0$ endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. $M$ selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von $M$ . Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form $U=\{f\in E\,';|f(x_{1})|<\epsilon ,\ldots |f(x_{m})|<\epsilon \}$ , wobei $x_{1},\ldots ,x_{m}\in E$ und $\epsilon >0$ , ein Element aus $M$ enthält. Wähle dazu $n$ so groß, dass $\max _{i=1,\ldots m}\|x_{i}\|<n\epsilon$ und $n>m$ . Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein $g\in S_{n}$ mit $g(x_{1})=\ldots =g(x_{m})=0$ . Wähle nun ein $f\in M_{n}$ mit $\|f-g\|<1/n$ . Dann ist $f\in M\cap U$ , denn $|f(x_{i})|=|f(x_{i})-g(x_{i})|\leq \|f-g\|\cdot \|x_{i}\|<\epsilon$ für alle $i=1,\ldots ,m$ .

Die bw*-Topologie

Man erkläre eine Menge $M\subset E'$ als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt $M\cap E_{r}'$ für jedes $r>0$ schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

Seien $E$ ein Banachraum und $M\subset E'$ eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von $M$ überein.

Satz von Banach-Dieudonné

Seien $E$ ein Banachraum und $U\subset E'$ ein Unterraum. $U$ ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn $U\cap E_{1}^{'}$ schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen $U\cap E_{r}^{'}=r\cdot (U\cap E_{1}^{'})$ offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen

M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487

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