Satz von Landau (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, eine obere Abschätzung für gewisse im offenen Einheitskreis $\mathbb {E}$ gegebene holomorphe Funktionen.

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen, mit denen nicht zuletzt die von Landau gelieferte Abschätzung präzisiert wurde.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien der offene Einheitskreis $\mathbb {E} =\{x\in X:|x|<1\}\subset \mathbb {C}$ und darauf eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {C}$ und zudem zwei komplexe Zahlen $a_{0}$ und $a_{1}$ .

Dabei soll $f(0)=a_{0}$ und $f'(0)=a_{1}$ sein und weiter für $z\in \mathbb {E}$ stets $f(z)\neq 0$ und $f(z)\neq 1$ gelten.

Dann gilt:

Es gibt eine allein von $a_{0}$ abhängige obere Schranke $M(a_{0})>0$ , welche die Ungleichung

|a_{1}|\leq M(a_{0})

erfüllt.

Präzisierung der Schranke

Es lässt sich eine bestmögliche obere Schranke explizit angeben. Hier konnte gezeigt werden, dass stets die Ungleichung

|a_{1}|\leq 2\cdot |a_{0}|\cdot {\bigl (}|\ln(|a_{0}|)|+A{\bigr )}\,,\,A={\frac {\left(\Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)^{4}}{4\cdot \pi ^{2}}}\approx 4{,}377

erfüllt ist.

Literatur

Joachim A. Hempel: The Poincaré metric on the twice punctured plane and the theorems of Landau and Schottky. In: Journal of the London Mathematical Society. Second Series. Band 20, 1979, S. 435–445 (MR0561135).
James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 423–425 (MR0079098).
James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. II. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 33, 1981, S. 559–562 (MR0627642).
Wan Tzei Lai: The exact value of Hayman's constant in Landau's theorem. In: Scientia Sinica. Band 22, 1979, S. 129–134 (MR0532327).
Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. Band 3. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5.

Weblinks

Eintrag Landau, Satz von im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

1 2 3 Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. 2001, S. 248

Anmerkungen

↑ $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.
↑ Für die letztere Zusatzbedingung sagt man: $f$ lässt in $\mathbb {E}$ die Werte $0$ und $1$ aus.
↑ $\ln$ ist die Logarithmusfunktion.

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[LdM-001-1] 1 2 3 Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. 2001, S. 248

[2] $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.

[3] Für die letztere Zusatzbedingung sagt man: $f$ lässt in $\mathbb {E}$ die Werte $0$ und $1$ aus.

[4] $\ln$ ist die Logarithmusfunktion.