Definition

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Dann heißt ein Untervektorraum ${\displaystyle W}$ komplementär oder ein Komplement zu ${\displaystyle U}$, wenn die Bedingungen

• ${\displaystyle U\cap W=\{0\}}$

und

• ${\displaystyle U+W=V}$

erfüllt sind. Dabei ist ${\displaystyle \{0\}}$ der Nullvektorraum und ${\displaystyle U+W}$ steht kurz für

${\displaystyle \{u+w\mid u\in U,w\in W\}.}$

Bemerkungen und Eigenschaften

• Man sagt dann auch: ${\displaystyle V}$ ist die innere direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$ und schreibt ${\displaystyle V=U\oplus W}$.
• Sind ${\displaystyle U,W}$ Unterräume von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle U\oplus W}$ ihre äußere direkte Summe, dann gilt: Der Homomorphismus

${\displaystyle U\oplus W\to V,\ \ (u,w)\mapsto u+w}$

ist genau dann ein Isomorphismus, wenn ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$ komplementär sind, d. h. wenn ${\displaystyle V}$ die innere direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$ ist.

• Zu einem Untervektorraum ${\displaystyle U}$ eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$ existiert stets ein komplementärer Untervektorraum. Das folgt aus dem Basisergänzungssatz. Komplemente sind aber im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
• ${\displaystyle W}$ ist genau dann ein Komplement von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, wenn sich jeder Vektor ${\displaystyle v\in V}$ eindeutig als

${\displaystyle v=u+w}$

mit ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle w\in W}$ schreiben lässt.

• Für die Dimensionen der entsprechenden Untervektorräume gilt

${\displaystyle \dim V=\dim U+\dim W.}$

Die Dimension des Komplementärraums ${\displaystyle W}$ wird auch als Kodimension von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ bezeichnet.

• Ist ${\displaystyle W}$ ein Komplement zu ${\displaystyle U}$, so ist auch ${\displaystyle U}$ ein Komplement zu ${\displaystyle W}$.
• Die Einschränkung der kanonischen Projektion ${\displaystyle V\to V/U}$ auf ${\displaystyle W}$ ist ein Isomorphismus, siehe Faktorraum.

Zusammenhang mit Projektionen

Es sei ${\displaystyle U}$ ein Unterraum im Vektorraum ${\displaystyle V}$.

• Ist ${\displaystyle W}$ ein Komplementärraum von ${\displaystyle U}$, so kann man nach obigem jedes Element ${\displaystyle v}$ aus ${\displaystyle V}$ eindeutig als Summe ${\displaystyle v=u+w}$ mit ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle w\in W}$ darstellen. Dann ist ${\displaystyle P_{W}\colon V\rightarrow V,v=u+w\mapsto u}$ eine Projektion mit dem Bild ${\displaystyle \operatorname {im} P_{W}=U}$ und Kern ${\displaystyle \operatorname {ker} P_{W}=W}$.

• Ist umgekehrt ${\displaystyle P\colon V\rightarrow V}$ eine Projektion mit Bild ${\displaystyle U}$, so ist der Kern ${\displaystyle \operatorname {ker} P}$ ein Komplementärraum von ${\displaystyle U}$.

Man erhält auf diese Weise eine Bijektion von der Menge aller Komplementärräume von ${\displaystyle U}$ auf die Menge aller Projektionen auf ${\displaystyle V}$ mit Bild ${\displaystyle U}$. Die Projektionen mit Bild ${\displaystyle U}$ bilden einen affinen Raum über dem Vektorraum ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V/U,U)\subset \operatorname {Hom} (V,V)}$.

Beispiel

Wir betrachten den Unterraum ${\displaystyle U:=\{(0,y);\,y\in \mathbb {R} \}\subset V=\mathbb {R} ^{2}}$ wie in nebenstehender Zeichnung. Zu jeder reellen Zahl ${\displaystyle a}$ sei ${\displaystyle W_{a}}$ die Gerade durch 0 mit Steigung ${\displaystyle a}$. Jeder solche Unterraum ${\displaystyle W_{a}}$ ist ein zu ${\displaystyle U}$ komplementärer Unterraum von ${\displaystyle V}$. Die zugehörige Projektion hat die Matrixdarstellung ${\displaystyle P_{a}={\begin{pmatrix}0&0\\-a&1\end{pmatrix}}}$. Man sieht der Matrixdarstellung direkt an, dass ${\displaystyle U}$ das Bild ist, denn die erste Zeile der Matrix besteht nur aus Nullen. Der Kern von ${\displaystyle P_{a}}$ ist ${\displaystyle W_{a}}$, denn aus ${\displaystyle P_{a}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ folgt ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-ax+y\end{pmatrix}}}$, das heißt, der Kern besteht aus allen Punkten ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle y=ax}$, und das ist genau die Gerade durch 0 mit Steigung ${\displaystyle a}$.

Definition

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$, auf dem eine symmetrische oder alternierende Bilinearform oder eine hermitesche Sesquilinearform ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ gegeben ist. Für einen Unterraum ${\displaystyle U\subseteq V}$ heißt

${\displaystyle U^{\perp }:=\{v\in V\mid \forall u\in U:\langle u,v\rangle =0\}}$

das orthogonale Komplement oder der Orthogonalraum von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$. Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Komplement von ${\displaystyle U}$ im oben definierten Sinne ist. Der Dualitätssatz besagt jedoch, dass, falls ${\displaystyle V}$ endlichdimensional und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ sowohl auf ${\displaystyle V}$ als auch auf dem Unterraum ${\displaystyle U}$ nicht ausgeartet ist, ${\displaystyle V=U\oplus U^{\bot }}$ gilt.

Die letzte Eigenschaft ist beispielsweise für Skalarprodukte auf reellen oder komplexen Vektorräumen stets erfüllt.

Orthogonales Komplement in Hilberträumen

Ist ${\displaystyle V}$ ein Hilbertraum, so ist das orthogonale Komplement eines Unterraumes ${\displaystyle U}$ ein Komplement seines Abschlusses ${\displaystyle {\bar {U}}}$, d. h.

${\displaystyle V={\bar {U}}\oplus U^{\perp }}$, wobei ${\displaystyle \oplus }$ als innere orthogonale Summe gelesen werden kann.

Das orthogonale Komplement ist stets abgeschlossen, und es gilt

${\displaystyle (U^{\perp })^{\perp }={\bar {U}}}$.