Herleitung aus dem Satz von Jegorow

Da ${\displaystyle f}$ als beschränkte, messbare Funktion zu ${\displaystyle L^{1}(M)}$ gehört und da die stetigen Funktionen in diesem Raum dicht liegen, gibt es eine Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ stetiger Funktionen, die in der ${\displaystyle L^{1}}$-Norm gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert. Indem man zu einer Teilfolge übergeht, kann man annehmen, dass außerhalb einer Menge vom Maß 0 punktweise Konvergenz vorliegt. Nach dem Satz von Jegorow liegt dann gleichmäßige Konvergenz außerhalb einer Menge vom Maß kleiner als ${\displaystyle \varepsilon }$ vor, und diese Menge kann wegen der Regularität des Lebesgue-Maßes als offen angenommen werden. Das Komplement ${\displaystyle K}$ ist dann kompakt, und auf ${\displaystyle K}$ konvergiert die Folge gleichmäßig. Daher ist die Grenzfunktion ${\displaystyle f|_{K}}$ stetig.

Herleitung der verallgemeinerten Aussage nur aus elementaren Eigenschaften des Maßes

Sei ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$-messbar wie im Satz und ${\displaystyle A\in \Sigma$ :\mu (A)<\infty } . Im Folgenden zeigen wir, dass es kompakte Mengen ${\displaystyle D_{i}\subseteq A}$ und eine Folge stetiger Funktionen ${\displaystyle g_{i}:D_{i}\rightarrow \mathbb {R} }$ gibt, welche auf ${\displaystyle K:=\cap _{i=1}^{\infty }D_{i}}$ gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$ konvergieren. Falls dann noch gilt, dass ${\displaystyle \mu (A\setminus K)<\varepsilon }$ ist der Satz bewiesen. Zunächst konstruieren wir die ${\displaystyle D_{i}}$. Für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ überdecken wir den Bildraum dafür mit disjunkten Borelmengen mit maximalem Durchmesser ${\displaystyle {\frac {1}{i}}}$ also:

${\displaystyle \{B_{ij}\}\subseteq \mathbb {R}$ :\quad \mathbb {R} =\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{ij},\quad \sup\{|x-y|:x,y\in B_{ij}\}<{\frac {1}{i}}}

Dann wird ${\displaystyle A}$ von den (insbesondere messbaren) Urbildern ${\displaystyle A_{ij}:=f^{-1}(B_{ij})}$ abgedeckt: ${\displaystyle A=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{ij}}$.

Da ${\displaystyle \mu }$ von innen regulär ist können wir die Urbilder von innen durch kompakte Mengen annähern, also:

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists K_{ij}\subseteq A_{ij}\ {\text{kompakt}}:\mu (A_{ij}\setminus K_{ij})<{\frac {\epsilon }{2^{i+j}}}}$

Durch ${\displaystyle \sigma }$-subadditivität folgt:

${\displaystyle \mu (A\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }K_{ij})\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{ij}\setminus K_{ij})<{\frac {\epsilon }{2^{i}}}}$

Durch Stetigkeit von Oben folgt weiter (da ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\left(\cup _{j=1}^{n}K_{ij}\right)^{C}=\left(\cup _{n=1}^{\infty }\cup _{j=1}^{n}K_{ij}\right)^{C}}$):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A\setminus \bigcup _{j=1}^{n}K_{ij})<{\frac {\epsilon }{2^{i}}}}$

Also ${\displaystyle \exists N_{i}>0:\mu (A\setminus \bigcup _{j=1}^{N_{i}}K_{ij})<{\frac {\epsilon }{2^{i}}}}$ wir definieren nun ${\displaystyle D_{i}:=\bigcup _{j=1}^{N_{i}}K_{ij}}$, welche als endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt sind. Da ${\displaystyle K:=\cap _{i=1}^{\infty }D_{i}}$ als Schnitt kompakter Mengen kompakt ist und da ${\displaystyle \mu (A\setminus K)=\mu (A\setminus \cap _{i=1}^{\infty }D_{i})=\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A\setminus D_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A\setminus D_{i})<\epsilon }$ erfüllt es die Anforderungen aus dem Satz.

Wir konstruieren nun die auf ${\displaystyle K}$ gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$ konvergente Folge stetiger Funktionen ${\displaystyle g_{i}:D_{i}\rightarrow \mathbb {R} }$. Dafür nehmen wir für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,j\leq N_{i}}$ ein festes ${\displaystyle b_{ij}\in B_{ij}}$ und definieren ${\displaystyle g_{i}(x)=b_{ij}}$ falls ${\displaystyle x\in K_{ij}}$. Die ${\displaystyle g_{i}}$ sind stetig, da sie auf den Zusammenhangskomponenten der ${\displaystyle D_{i}}$ konstant sind.

Gleichmäßige Konvergenz bleibt zu zeigen: Sei ${\displaystyle \epsilon >0}$ und wähle ${\displaystyle i}$ so groß, dass ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{i}}<\epsilon }$, dann ist ${\displaystyle x\in K\Rightarrow x\in D_{i}\Rightarrow \exists !j:x\in K_{ij}\Rightarrow \exists !j:f(x)\in B_{ij}}$ und weil auch ${\displaystyle g_{i}(x)=b_{ij}\in B_{ij}}$

folgt somit ${\displaystyle \textstyle |g_{i}(x)-f(x)|\leq \sup\{|x-y|:x,y\in B_{ij}\}<{\frac {1}{i}}<\epsilon }$. Analog folgt ${\displaystyle \textstyle \forall k>i:|g_{k}(x)-f(x)|<{\frac {1}{k}}<{\frac {1}{i}}<\epsilon }$. Als gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen ist ${\displaystyle f|_{K}}$ stetig.