Der Satz von Osgood (nach William Osgood) ist eine Aussage der Funktionentheorie und besagt, dass jede injektive holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung auf ihr Bild ist.

Satz

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}}$ eine injektive holomorphe Funktion. Dann ist ${\displaystyle \Omega ':=f(\Omega )\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und die Umkehrabbildung ${\displaystyle f^{-1}\colon \Omega '\to \Omega }$ ist holomorph, also die Abbildung ${\displaystyle f}$ biholomorph.

Da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, gilt der Satz auch für Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

Unterschied zum reellen Fall

Für reell-analytische Funktionen gilt die Aussage des Satzes nicht. Beispielsweise ist ${\displaystyle f\colon (-1,1)\to (-1,1)}$ mit ${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$ bijektiv und analytisch, aber die Umkehrfunktion ist im Nullpunkt nicht mehr analytisch.

Literatur

• Raghavan Narasimhan: Several Complex Variables., University of Chicago Press, Chicago 1971, ISBN 0-226-56817-2