In der Differentialtopologie ist der Satz von Roussarie-Thurston ein Lehrsatz aus der Theorie der Blätterungen.

Der Satz stammt von Robert Roussarie und William Thurston.

Aussage

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine straffe Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle S\subset M}$ eine inkompressible Fläche. Dann gibt es eine Isotopie, nach der das Bild von ${\displaystyle S}$ entweder in einem Blatt von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ liegt oder die tangentialen Berührpunkte mit Blättern von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ Sattelpunkte sind.

Anwendungen

Nach der durch den Satz von Roussarie-Thurston gegebenen Isotopie in eine Fläche mit Sattelsingularitäten sei ${\displaystyle I_{p}}$ und ${\displaystyle I_{n}}$ die Anzahl der positiven und negativen Sattelsingularitäten. Dann gelten für die Euler-Charakteristik ${\displaystyle \chi (S)}$ der Fläche und die Euler-Klasse ${\displaystyle e(T{\mathcal {F}})}$ des Tangentialbündels der Blätterung die Gleichungen

${\displaystyle I_{p}+I_{n}=-\chi (S)}$,

${\displaystyle I_{n}-I_{p}=e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]}$.

Insbesondere folgt

${\displaystyle \vert e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]\vert \leq \Vert \left[S\right]\Vert }$,

wobei ${\displaystyle \Vert \left[S\right]\Vert }$ die Thurston-Norm der Homologieklasse von ${\displaystyle S}$ bezeichnet.

Für die duale Thurston-Norm der Euler-Klasse einer straffen Blätterung gilt also stets ${\displaystyle \Vert e(T{\mathcal {F}})\Vert \leq 1}$.

Literatur

• Kapitel 9.5 in A. Candel, L. Conlon: Foliations. II, Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, RI: American Mathematical Society (2003)
• Kapitel 5.3 in D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (2007)

Einzelnachweise

1. ↑ Roussarie, Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, IHES Pub. Math., Band 43, 1973, S. 101–142.
2. ↑ Thurston, Foliations of three-manifolds which are circle bundles, Dissertation, University of California, Berkeley 1972.
3. ↑ Thurston, A norm for the homology of three-manifolds, Memoirs Am. Math. Soc., Band 59, 1986, S. 99–130.