Satz von van Aubel

In der ebenen Geometrie beschreibt der Satz von van Aubel eine Beziehung zwischen den Quadraten, die über den Seiten eines gegebenen Vierecks konstruiert wurden.

Aussage

Die beiden Strecken zwischen den Mittelpunkten gegenüberliegender Quadrate sind gleich lang und zueinander rechtwinklig. Anders ausgedrückt: Die Mittelpunkte der vier Quadrate sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Der Satz ist benannt nach Henri van Aubel (1830–1906), einem Mathematiklehrer am Atheneum (Gymnasium) in Antwerpen, der ihn 1878 veröffentlichte.

Der Satz gilt auch für die nach innen konstruierten Quadrate auf den Vierecksseiten. Zu beachten ist zudem, dass das Viereck nicht konvex sein muss und sogar überschlagend sein kann.

Spezialfall

Lässt man in dem gegebenen Viereck eine zur Länge 0 entartete Seite zu, so entartet auch eines der Quadrate zu einem Punkt des so entstandenen Dreiecks. Hieraus resultiert der Satz von Vecten. Vecten war ein französischer Mathematiklehrer aus dem Anfang des 19. Jahrhunderts, der mehrere Artikel über die nach ihm benannte Vecten-Figur veröffentlicht hat.

Der Satz von Vecten besagt, dass bei einem beliebigen Dreieck mit auf den Seiten errichteten Quadraten die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten zweier Quadrate orthogonal und längengleich zu der Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt des dritten Quadrats und dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks ist.

Die zugehörige Darstellung wird auch als Vecten-Figur bezeichnet.

Siehe auch

Literatur

Yutaka Nishiyama: The Beautiful Geometric Theorem of Van Aubel (PDF; 357 kB) In: International Journal of Pure and Applied Mathematics, Band 66, N3. 1, 2011, S. 71–80
D. Pellegrinetti: The Six-Point Circle for the Quadrangle. In: International Journal of Geometry, Band 8 (2019), Nr. 2, S. 5–13

Weblinks

Commons: Satz von van Aubel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: van Aubel’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
Jay Warendorff: Van Aubel’s Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel’s Theorem for Triangles – The Wolfram Demonstrations Project.
Van Aubel’s Theorem and some generalizations, an interactive dynamic geometry sketch at Dynamic Geometry Sketches

Einzelnachweise

↑ H. H. van Aubel: Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque. In: Nouvelle Correspondance Mathématique. Band 4, 1878, S. 40–44 (französisch).
↑ David Wells: Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin 1991, S. 11, dort als Aubel’s theorem
↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 90–96.
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 4–7, 93

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[1] H. H. van Aubel: Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque. In: Nouvelle Correspondance Mathématique. Band 4, 1878, S. 40–44 (französisch).

[2] David Wells: Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin 1991, S. 11, dort als Aubel’s theorem

[3] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 90–96.

[4] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 4–7, 93