Konstruktion der Homomorphismen

Die Homomorphismen zwischen den Kernen bzw. Kokernen werden in natürlicher Weise von den gegebenen horizontalen Homomorphismen über die universellen Eigenschaften von Kern bzw. Kokern induziert. Die wesentliche Aussage des Lemmas ist die Existenz des Verbindungshomomorphismus ${\displaystyle d}$, der die Sequenz vervollständigt.

Im Falle der Kategorie abelscher Gruppen oder von Moduln über einem Ring kann man ${\displaystyle d}$ elementweise durch Diagrammjagd konstruieren: Sei ${\displaystyle x\in \operatorname {ker} \,c}$ gegeben, d. h. ein ${\displaystyle x\in C}$ mit ${\displaystyle c(x)=0}$. Wegen der Surjektivität von ${\displaystyle g}$ gibt es ein ${\displaystyle y\in B}$ mit ${\displaystyle g(y)=x}$. Wegen ${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=0}$ gibt es ein (wegen der Injektivität von ${\displaystyle f'}$ eindeutiges) ${\displaystyle z\in A'}$ mit ${\displaystyle f'(z)=b(y)}$. Definiere ${\displaystyle d(x)}$ als das Bild von ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle \operatorname {coker} \,a}$.

Die Wahl von ${\displaystyle y\in B}$ war hierbei nicht eindeutig, wegen der Exaktheit bei ${\displaystyle B}$ hat jedoch jede andere Wahl die Form ${\displaystyle y+f(w)}$ für geeignetes ${\displaystyle w\in A}$. Als Folge wird ${\displaystyle z}$ durch ${\displaystyle z+a(w)}$ ersetzt, was dann jedoch auf denselben Wert für ${\displaystyle d(x)}$ führt. Somit ist die Abbildung ${\displaystyle d}$ wohldefiniert.

Hat man zu ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \operatorname {ker} (c)}$ jeweils ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in B}$ sowie ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in A'}$ mit ${\displaystyle g(y_{1,2})=x_{1,2}}$ und ${\displaystyle f'(z_{1,2})=b(y_{1,2})}$ gewählt, so kann man zu ${\displaystyle x_{1}+x_{2}}$ offenbar ${\displaystyle y_{1}+y_{2}}$ sowie ${\displaystyle z_{1}+z_{2}}$ wählen: ${\displaystyle g(y_{1}+y_{2})=x_{1}+x_{2}}$, ${\displaystyle f'(z_{1}+z_{2})=b(y_{1}+y_{2})}$. Hieraus ergibt sich ${\displaystyle d(x_{1}+x_{2})=d(x_{1})+d(x_{2})}$. Ebenso folgt, wenn ${\displaystyle r}$ ein Ringelement ist, aus ${\displaystyle g(r\cdot y_{1})=r\cdot x_{1}}$ und ${\displaystyle f'(r\cdot z_{1})=b(r\cdot y_{1})}$, dass ${\displaystyle d(r\cdot x_{1})=r\cdot d(x_{1})}$ ist. Somit ist die Abbildung ${\displaystyle d}$ linear, also ein Homomorphismus.

Komplexeigenschaft

Dass die Schlangensequenz einen Komplex bildet, dass also zwei „Pfeile“ hintereinander stets die Nullabbildung ergeben, folgt rasch:

• Die Abbildung ${\displaystyle \ker a\to \ker c}$ wird induziert von ${\displaystyle g\circ f=0}$
• Für die Abbildung ${\displaystyle \ker b\to \operatorname {coker} a}$ sei ${\displaystyle y\in \ker b}$ und ${\displaystyle x=g(y)}$. Dann kann man in der obigen Konstruktion von ${\displaystyle d(x)}$ ebendieses ${\displaystyle y}$ wählen, woraus sich ${\displaystyle b(y)=0}$, dann ${\displaystyle z=0}$ und somit ${\displaystyle d(x)=0}$ ergibt.
• Für die Abbildung ${\displaystyle \ker c\to \operatorname {coker} b}$ sei ${\displaystyle x\in \ker c}$. Mit den Bezeichnungen wie in der Konstruktion oben ergibt sich das Bild in ${\displaystyle \operatorname {coker} b}$ aus ${\displaystyle b(y)\in B'}$. Da dies in ${\displaystyle \operatorname {Bild} b}$ liegt, ergibt sich 0.
• Die Abbildung ${\displaystyle \operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} c}$ wird induziert von ${\displaystyle g'\circ f'=0}$

Exaktheit

Die Exaktheit der Homomorphismen zwischen den Kernen, zwischen den Kokernen sowie an Anfangs- und Endpunkt des Pfeils d weist man wiederum durch Diagrammjagd nach:

• Exaktheit bei ${\displaystyle \ker b}$: Ist ${\displaystyle x\in \ker b}$ mit ${\displaystyle g(x)=0}$, so immerhin ${\displaystyle x=f(u)}$ für ein ${\displaystyle u\in A}$. Wegen ${\displaystyle f'(a(u))=b(f(u))=b(x)=0}$ und der Injektivität von ${\displaystyle f'}$ folgt ${\displaystyle a(u)=0}$, also in der Tat wie erforderlich ${\displaystyle x=f(u)}$ für ein ${\displaystyle u\in \ker a}$.
• Exaktheit bei ${\displaystyle \ker c}$: Sei ${\displaystyle x\in \ker c}$ mit ${\displaystyle d(x)=0}$. Mit den Bezeichnungen von oben ist dann ${\displaystyle z=a(u)}$ für ein ${\displaystyle u\in A}$. Dann ist ${\displaystyle b(y)=f'(z)=f'(a(u))=b(f(u))}$, folglich ${\displaystyle y=f(u)+v}$ für ein ${\displaystyle v\in \ker b}$. Damit wird ${\displaystyle x=g(y)=g(f(u))+g(v)=g(v)}$.
• Exaktheit bei ${\displaystyle \operatorname {coker} a}$: Ein Element ${\displaystyle {\bar {z}}}$ von ${\displaystyle \operatorname {coker} a}$ stammt stets von einem ${\displaystyle z\in A'}$. Dass es auf ${\displaystyle 0\in \operatorname {coker} b}$ abgebildet wird, bedeutet, dass ${\displaystyle f'(z)}$ im Bild von ${\displaystyle b}$ liegt. Sei ${\displaystyle y\in B}$ mit ${\displaystyle b(y)=f'(z)}$ und setze ${\displaystyle x=g(y)}$. Dann gilt ${\displaystyle c(x)=c(g(y))=g'(b(y))=g'(f'(z))=0}$. Somit ist ${\displaystyle x\in \ker c}$ und es wird nach Konstruktion auf das gegebene ${\displaystyle {\bar {z}}}$ abgebildet.
• Exaktheit bei ${\displaystyle \operatorname {coker} b}$: Ist ${\displaystyle {\bar {x}}\in \operatorname {coker} b}$ das Bild von ${\displaystyle x\in B'}$ und wird ${\displaystyle {\bar {x}}}$ auf die Null in ${\displaystyle \operatorname {coker} c}$ abgebildet, so gilt ${\displaystyle g'(x)=c(y)}$ für ein ${\displaystyle y\in C}$. Wegen der Surjektivität von ${\displaystyle g}$ gibt es ein ${\displaystyle z\in B}$ mit ${\displaystyle g(z)=y}$. Dann ${\displaystyle g'(b(z))=c(g(z))=c(y)=g'(x)}$, also ${\displaystyle x=b(z)+f'(u)}$ für ein ${\displaystyle u\in A'}$. Beim Übergang zu den Kokernen fällt ${\displaystyle b(z)}$ weg, also ist ${\displaystyle {\bar {x}}}$ das Bild von ${\displaystyle {\bar {u}}\in \operatorname {coker} a}$.

Die letzten drei Punkte nutzen aus, dass die vertikalen Sequenzen exakt sind.

Natürlichkeit

Für Anwendungen des Schlangenlemmas ist es häufig nötig, dass die langen exakten Sequenzen „natürlich“ sind (im Sinne einer natürlichen Transformation). Dies ergibt sich dann aus der Natürlichkeit der vom Schlangenlemma gelieferten Sequenz.

Ist

ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen, so kann man das Schlangenlemma einmal auf den "vorderen" Teil anwenden und einmal auf den "hinteren". Die beiden sich ergebenden exakten Sequenzen stehen miteinander über ein Diagramm der Form

in Beziehung.

Man kann dies auch durch Anwendung des Schlangenlemmas auf die Kategorie der Morphismen zwischen Objekten der ursprünglichen Kategorie erkennen.