Definition

Seien ${\displaystyle X,Y}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle X}$ kompakt sowie ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine Untermannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ein differenzierbare Abbildung, die zu ${\displaystyle Z}$ transversal ist. Zudem gelte ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$. Dann heißt

${\displaystyle I(f,Z):=\sum _{x\in f^{-1}(Z)}\mathrm {sign} (x)}$

die Schnittzahl der Abbildung ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle Z}$.

Transversalität und Kompaktheit garantieren, dass die Summe endlich ist. Das Signum ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)}$ ist folgendermaßen definiert:

• ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)=+1}$, falls ${\displaystyle d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y}$ als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung erhält,
• ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)=-1}$, falls ${\displaystyle d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y}$ als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung umkehrt.

Mit Hilfe des Homotopietransversalitätssatzes kann die Definition auch auf Abbildungen ausgedehnt werden, die nicht transversal sind: Seien ${\displaystyle X,Y}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle X}$ kompakt sowie ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine Untermannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ein differenzierbare Abbildung. Zudem gelte ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$. Nach dem Homotopietransversalitätssatz gibt es eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle g\colon X\rightarrow Y}$, welche transversal zu ${\displaystyle Z}$ und homotop zu ${\displaystyle f}$ ist. Man setzt: ${\displaystyle I(f,Z):=I(g,X)}$.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle W}$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${\displaystyle \partial W=X}$ und sei ${\displaystyle F\colon W\rightarrow Y}$ eine differenzierbare Abbildung. Dann gilt für ${\displaystyle f=\partial F\colon X\rightarrow Y}$ für jede Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Z}$ von ${\displaystyle Y}$, dass ${\displaystyle I(f,Z)=0}$.
• Die Schnittzahlen homotoper Abbildungen stimmen überein.

Selbstschnittzahl

Für den Fall, dass ${\displaystyle X,Z}$ kompakte orientierte Untermannigfaltigkeiten einer orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind, mit ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$, lässt sich die Schnittzahl ${\displaystyle I(X,Z):=I(i,Z)}$ definieren, wobei ${\displaystyle i\colon X\hookrightarrow Y}$ die kanonische Inklusionsabbildung bezeichnet.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle I(Z,X):=(-1)^{\dim X\cdot \dim Z}\cdot I(X,Z)}$ gilt. Im Falle ${\displaystyle \dim X={\frac {1}{2}}\dim Y}$, ist also die Selbstschnittzahl ${\displaystyle I(X,X)}$ definiert und für ungerade ${\displaystyle \dim X}$ folgt damit ${\displaystyle I(X,X)=0}$.

Sei nun ${\displaystyle Y}$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \Delta$ :=\left\{(y,y)\,:y\in Y\right\}\subset Y\times Y} bezeichne die Diagonale. Nach der vorangehenden Überlegung ist ${\displaystyle I(\Delta ,\Delta )}$ wohldefiniert und man kann mit Hilfe der Lefschetz-Fixpunkttheorie zeigen, dass ${\displaystyle I(\Delta ,\Delta )}$ mit der Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

Schnittzahl mod 2

Die Schnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ ist unabhängig von einer Orientierung der Mannigfaltigkeiten, das in der Definition der Schnittzahl vorkommende Signum ist ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2=1}$ und die Berechnung der Schnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ reduziert sich auf das Zählen der Schnittpunkte ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$. Dies erlaubt natürlich nicht so genaue Aussagen wie mit der Schnittzahl orientierter Mannigfaltigkeiten, ermöglicht aber dafür auch die Berechnung bei nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

Anwendungsbeispiel

Als Anwendung wird gezeigt, dass das Möbiusband nicht orientierbar ist. ${\displaystyle X}$ bezeichne die Mittellinie des Möbiusbandes, welche diffeomorph ist zur Kreislinie ${\displaystyle S^{1}}$. Die Selbstschnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ von ${\displaystyle X}$ ist 1. Wäre das Möbiusband orientierbar, dann müsste aber ${\displaystyle I(X,X)=0}$ gelten. ${\displaystyle I(X,X)=0\,\mathrm {mod} \,2\neq 1}$, also kann das Möbiusband nicht orientierbar sein.