Strikt konvexe Räume

Will man die Gleichheit in der Konvexitätsformel weitestgehend ausschließen, also sicherstellen, dass die Einheitssphäre keine Strecken enthält, so führt dies zwanglos zu folgender Definition:

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt strikt konvex, falls gilt:

Sind ${\displaystyle x,y\in S_{X}}$ verschieden und ist ${\displaystyle 0<t<1}$, so ist ${\displaystyle \|tx+(1-t)y\|<1}$.

Gleichmäßig konvexe Räume

Indem man kontrolliert, wie gut die Ungleichung in der Definition des strikt konvexen Raums erfüllt ist, kommt man zu folgendem Begriff:

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt gleichmäßig konvex, falls gilt:

Für jedes ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$   ist   ${\displaystyle \inf\{1-{\frac {1}{2}}\|x+y\|;\,x,y\in S_{X},\|x-y\|\geq \varepsilon \}>0}$.

Lokal gleichmäßig konvexe Räume

Die Bedingung in der Definition der gleichmäßigen Konvexität gilt gleichmäßig für alle ${\displaystyle x,y}$. Indem man einen Vektor fest hält und das Infimum nur noch über den anderen bildet, erhält man folgende lokale Version:

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt lokal gleichmäßig konvex, falls gilt:

Für jedes   ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$   und jedes   ${\displaystyle x\in S_{X}}$   ist   ${\displaystyle \inf\{1-{\frac {1}{2}}\|x+y\|;\,y\in S_{X},\|x-y\|\geq \varepsilon \}>0}$.

Schwach gleichmäßig konvexe Räume

In der Definition der gleichmäßigen Konvexität kann die Bedingung ${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ in der Menge, über die das infimum gebildet wird, zu ${\displaystyle |f(x-y)|\geq \varepsilon }$ abgeschwächt werden, wobei ${\displaystyle f\in S_{X^{*}}}$ ist, also aus der Einheitssphäre des Dualraums stammt.

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt schwach gleichmäßig konvex, falls gilt

Für jedes   ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$   und   ${\displaystyle f\in S_{X^{*}}}$   ist   ${\displaystyle \inf\{1-{\frac {1}{2}}\|x+y\|;\,x,y\in S_{X},|f(x-y)|\geq \varepsilon \}>0}$.

Lokal schwach gleichmäßig konvexe Räume

Die Bedingung in der Definition der schwach gleichmäßigen Konvexität lässt sich wieder zu einer lokalen Version abschwächen:

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt lokal schwach gleichmäßig konvex, falls gilt:

Für jedes   ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$, ${\displaystyle x\in S_{X}}$   und   ${\displaystyle f\in S_{X^{*}}}$   ist   ${\displaystyle \inf\{1-{\frac {1}{2}}\|x+y\|;\,y\in S_{X},|f(x-y)|\geq \varepsilon \}>0}$.

Lokal gleichmäßig mittelpunktskonvexe Räume

Aus der gleichmäßigen Konvexität folgt, dass für zwei Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ und ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle S_{X}}$, für die die Norm der Folge der Mittelpunkte ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(x_{n}+y_{n})}$ gegen 1 konvergiert, ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$ gelten muss. Diese Bedingung lässt sich durch die Forderung, dass die Folge der Mittelpunkte tatsächlich gegen ein Element der Einheitssphäre konvergieren muss, abschwächen:

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt lokal gleichmäßig mittelpunktskonvex, falls gilt:

Sind ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$   und   ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$   Folgen in   ${\displaystyle S_{X}}$   und konvergiert  ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(x_{n}+y_{n})\rightarrow z\in S_{X}}$,  so gilt   ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$.

In jeder Richtung gleichmäßig konvexe Räume

Eine weitere Verallgemeinerung ergibt sich, wenn man nur dann auf ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$ schließen kann, wenn die Differenzen ${\displaystyle x_{n}-y_{n}}$ alle dieselbe Richtung haben.

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt gleichmäßig konvex in Richtung ${\displaystyle z\in X\setminus \{0\}}$, falls gilt:

Sind   ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$   und   ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$   Folgen in   ${\displaystyle S_{X}}$   und konvergiert   ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(x_{n}+y_{n})\rightarrow z\in S_{X}}$   und ist   ${\displaystyle x_{n}-y_{n}\in \mathbb {R} z}$ für alle ${\displaystyle n}$, so gilt   ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$.

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt in jeder Richtung gleichmäßig konvex oder auch UCED-Raum, wenn ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ für alle ${\displaystyle z\in X\setminus \{0\}}$ gleichmäßig konvex in Richtung ${\displaystyle z}$ ist.

Stark konvexe Räume

Um wie in der Verschärfung der Konvexität zur strikten Konvexität zu erreichen, dass die Einheitssphäre keine Strecken erhält, kann man Durchschnitte der Kugeln ${\displaystyle rB_{X}}$ mit Radius ${\displaystyle r}$ mit einer konvexen Menge ${\displaystyle C}$ betrachten und fordern, dass der Durchmesser ${\displaystyle \mathrm {diam} (rB_{X}\cap C)}$ der nicht-leeren Durchschnitte mit fallendem Radius gegen 0 geht.

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt stark konvex, falls gilt:

Für jede konvexe Menge ${\displaystyle C\subset X}$   gilt   ${\displaystyle \mathrm {diam} (rB_{X}\cap C)\rightarrow 0}$   für   ${\displaystyle r\searrow \inf\{t>0;\,tB_{X}\cap C\not =\emptyset \}}$.

Schwach* gleichmäßig konvexe Räume

Obige Abschwächung der gleichmäßigen Konvexität unter Benutzung der schwachen Topologie kann auf dem Dualraum mit der schwach-*-Topologie formuliert werden:

Der Dualraum ${\displaystyle (X^{*},\|\cdot \|)}$ heißt schwach* gleichmäßig konvex, falls gilt:

Für jedes   ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$   und   ${\displaystyle x\in S_{X}}$   ist   ${\displaystyle \inf\{1-{\frac {1}{2}}\|f+g\|;\,f,g\in S_{X^{*}},|(f-g)x|\geq \varepsilon \}>0}$.