Restitution

Die Umrechnung der Counts außerhalb des Durchlassbereiches in Bodenverschiebung wird Restitution genannt. Dies erhöht das Signal-Rausch-Verhältnis und verbessert die Möglichkeiten, die Phasen und Ankunftszeiten der Wellen zu identifizieren. Vor allem zur Magnitudenbestimmung sind restituierte Daten wichtig.

Rotation

Das Koordinatensystem eines Seismogramms kann in Richtung des Großkreises zwischen dem Erdbeben und dem Seismometer rotiert werden. Dies ist eine Koordinatentransformation aus den Horizontalkomponenten in Transversal- und Radialkomponenten. Man verwendet dazu die Epizentraldistanz, den Abstand des Seismometers von dem Erdbeben und den Azimuth, den Winkel am Seismometer der Epizentralstrecke zur Nordrichtung gemessen. Außerdem verwendet man den Backazimuth, der den Winkel zwischen den der Epizentralstrecke und der Nordrichtung am Epizentrum misst. Entgegen mathematischer Konventionen wird der Winkel im Uhrzeigersinn gemessen.

Konzept des Strahlenbündels

Der Energiefluss in einem Strahlenbündel ist bei variierendem Querschnitt des Bündels konstant. Dies ermöglicht die Abschätzung von Amplituden der seismischen Strahlen. Für das Konzept des Strahlenbündels macht man die Annahmen, dass keine Diffraktionen auftreten und die Wellen sich hochfrequent ausbreiten. Aus diesem Konzept folgt, dass ein Strahlenbündel mit großem Querschnitt kleine Amplituden und ein Strahlenbündel mit kleinem Querschnitt große Amplituden aufweist.

Benndorfscher Satz

Der Strahlparameter ist konstant für Strahlen mit gleichem Abstrahlwinkel. Für den Benndorfschen Satz betrachten wir zwei parallel an der Oberfläche einfallende Strahlen.

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}x}}={\frac {r_{E}\cdot \sin \varphi }{c(z)}}=p}$

Es wird die Änderung der Laufzeit ${\displaystyle {\text{d}}\tau }$ gegen die Änderung der Epizentraldistanz ${\displaystyle {\text{d}}x}$ aufgetragen. Es folgt die Beziehung zwischen dem Strahlparameter ${\displaystyle p}$, der Ausbreitungsgeschwindigkeit c und dem Strahlwinkel ${\displaystyle \varphi }$. Da sich der Term der Änderungen nur in horizontaler Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert, können wir ${\displaystyle \varphi =90^{\circ }}$ setzen.

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}x}}={\frac {1}{c_{\mathrm {hor} }}}=s_{\mathrm {hor} }={\frac {p}{r_{E}}}}$,

wobei ${\displaystyle {\frac {1}{c_{\mathrm {hor} }}}}$ die scheinbare horizontale Ausbreitungsgeschwindigkeit und ${\displaystyle s_{\mathrm {hor} }}$ die Horizontalkomponente des Langsamkeitsvektors ist.

Für den Strahlparameter ${\displaystyle p}$ an der Erdoberfläche und den Strahldaten im Scheitelpunkt eines Strahls ${\displaystyle r_{0}}$ folgt:

${\displaystyle p={\frac {r_{E}\cdot \sin(\varphi )}{c(r_{E})}}={\frac {r_{0}}{c_{0}(r_{0})}}}$

Es folgt für die Benndorf-Beziehung, dass die Tangente an einer Laufzeitkurve, aufgetragen gegen die Epizentraldistanz, dem Strahlparameter normiert auf den Erdradius entspricht. Daraus folgt, dass der Strahlparameter im Epizentrum seinen höchsten Wert annimmt und kontinuierlich mit der Entfernung abnimmt. In einer Epizentralentfernung von 180° fällt der Strahl senkrecht zur Oberfläche ein, und der Strahlparameter wird Null. Die horizontale Scheingeschwindigkeit steigt ins Unendliche an. Abweichende Beobachtungen werden für seismische Strahlen durch den Kern in einer Epizentralentfernung über 90° und bei Strahlen mit dem Apex in der Übergangszone zwischen Kruste und Mantel gemacht.

Strahlphasen

Die seismischen Strahlen werden nach ihrem Strahlverlauf bezeichnet. Die Nomenklatur dieser Phasen ist in den Tabellen rechts aufgeschlüsselt. Es können auch komplexe Phasen, wie Mehrfachreflexionen oder Wellenkonversionen benannt werden. Eine Reflexion einer P-Welle an der freien Oberfläche wird als PP bezeichnet. Bei entsprechenden Mehrfachreflexionen wird die Anzahl der Reflexionen der Phase vorangestellt. Eine 4-fach reflektierte S-Welle würde somit als 4S bezeichnet. Es können auch Phasen deklariert werden, dass Erdbebenherd in großer Tiefe liegt und in Richtung der Oberfläche abstrahlt. Dies wird als Tiefenphase bezeichnet und für P-Wellen als pP bezeichnet. Bei starken Erdbeben können die seismischen Strahlen genug Energie aufbringen um durch den Kern zu laufen und an der gegenüberliegenden Oberfläche der Erde gemessen zu werden, diese würde als PKIKP bezeichnet. Ein seismischer Strahl durch den inneren Kern kann eine Konversion in eine S-Welle erfahren und am Übergang zum äußeren Kern wieder in eine P-Welle konvertiert werden. Diese PKJKP-Phase konnte bisher nicht eindeutig identifiziert werden, da die P-S-Transmissionskoeffizienten sehr kleine Amplituden aufweisen.

Theoretische Laufzeitkurven

Im Erdinneren gibt es Zonen mit starken Kontrasten der seismischen Ausbreitungsgeschwindigkeiten.

Seismisches Array

Ein seismisches Array ist die räumliche Anordnung von Seismometern mit identischer Charakteristik und zentraler Datenerfassung. Dies können Geophonketten, Refraktionsauslagen oder seismische Netze sein. Teleseismische Beben können am besten ausgewertet werden, da die Wellenfronten ihr Signal über die Auslage kaum ändern und somit eine hohe Kohärenz aufweisen.

Richtstrahlbildung (Beamforming)

Bei der Richtstrahlbildung wird eine beliebige Station beobachtet und alle eintreffenden Signale werden anhand der horizontalen Langsamkeit auf die Ankunftszeit der entsprechenden Station normiert. Diese Signale können nun gestapelt werden. Dies verbessert die Signal-Noise Ratio, da die stochastisch auftretenden Störsignale destruktiv überlagert werden. Zudem wirkt diese Bearbeitung der Daten als Wellenzahlfilter. Dazu berechnet man die Energieaufnahme des auf die Langsamkeit abgestimmten Richtstrahls. Aus dieser Berechnung entsteht ein Gewichtungsfaktor, der als Arrayantwortfunktion bezeichnet wird:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum \limits _{m=0}^{N-1}e^{i\left({\vec {k}}-{\vec {k}}_{0}\right){\vec {r}}_{m}}\right|^{2}}$,

wobei N die Anzahl der seismischen Stationen, k die Wellenzahl und r der Abstand ist. Im Idealfall wird die Arrayantwortfunktion der Dirac'schen Deltafunktion angenähert, dies schwächt Signale mit abweichender Langsamkeit ideal ab. Diese Methode ist verwandt mit der Common Midpoint-Methode in der angewandten Seismik.

Vespagramm

Um später eintreffende Phasen zu lokalisieren, können Vespagramme erstellt werden. Hierzu werden die schwächeren Phasen aus der Coda der stärkeren Phasen hervorgehoben. Da beide Phasen derselben Quelle entstammen unterscheiden sie sich nur in der Langsamkeit. Man unterteilt das Seismogramm in mehrere Zeitintervalle und bestimmt für jedes Intervall die Richtstrahlen mit variierendem Betrag der Langsamkeit. Anschließend wird die Langsamkeit gegen die Zeit aufgetragen.

Herglotz-Wiechert-Verfahren

Das Herglotz-Wiechert-Verfahren wird angewandt, um ein 1D-Geschwindigkeitsmodell aus gemessenen Laufzeitkurven zu erstellen. Eine grundlegende Voraussetzung für dieses Verfahren ist, dass die Geschwindigkeit mit steigender Tiefe monoton zunimmt. Das bedeutet, dass im Untergrund keine Inversionszonen oder Niedergeschwindigkeitszonen auftreten dürfen. Diese Zonen können jedoch identifiziert und ausgeschlossen werden. Aus der Formel für die Epizentraldistanz, einem Variablenwechsel und partieller Integration ergibt sich die folgende Formel:

${\displaystyle \pi \ln {\frac {R}{r_{1}}}=\int \limits _{\Delta =0}^{\Delta _{1}}\cosh ^{-1}\left({\frac {p(\Delta )}{\eta _{1}}}\right){\text{d}}\Delta }$

und ${\displaystyle p(\Delta _{1})=\eta _{1}}$, wobei ${\displaystyle \Delta }$ die Epizentraldistanz, ${\displaystyle p(\Delta )}$ der Strahlparameter in Abhängigkeit von der Epizentraldistanz und ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {r_{1}}{c(r_{1})}}}$ der Radius normiert auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind. Dieser analytische Ansatz löst das inverse Problem eindeutig. Allerdings können einige Schwierigkeiten nicht gelöst werden:

• Die Beziehung zwischen der Laufzeit bzw. dem Strahlparameter und der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist nichtlinear. Kleine Änderungen in der Ausbreitungsgeschwindigkeit führen also zu unproportionalen Änderungen der Laufzeit bzw. des Strahlparameters.
• Triplikationen in Laufzeiten, besonders späte Ankunftszeiten, sind schwer zu messen, aber nötig, um eine eindeutige Geschwindigkeitstiefenfunktion abzuleiten.
• Niedergeschwindigkeitszonen können nicht aufgelöst werden.
• Da stetige Funktionen für die Laufzeit und den Strahlparameter benötigt werden, muss interpoliert werden. Diese Ergebnisse variieren jedoch mit dem Interpolationsverfahren.

Geigermethode

Die Geigermethode ist eine iterative Gradientenmethode zur Lokalisierung von Erdbebenherden. Dafür verwendet man aus Seismogrammen bestimmte Ankunftszeiten. Dabei wird davon ausgegangen, dass mehr als vier Ankunftszeiten an mehr als zwei Stationen gemessen werden können. Für gewöhnlich werden mehrere Stationen betrachtet. Außerdem wird vorausgesetzt, dass das Geschwindigkeitsmodell des Untergrundes bekannt ist. Die Ankunftszeit der Phasen der Erdbebenwellen ist somit eine nichtlineare Funktion von vier Unbekannten, der Herdzeit und der drei Koordinaten. Für die Geigermethode mit grober Kenntnis der Herdparameter wurde das Inversionproblem linearisiert:

${\displaystyle \delta t=G\Delta m}$,

wobei ${\displaystyle \delta t}$ die Ankunftszeit-Residuen, G die Jacobi-Matrix und ${\displaystyle \Delta m}$ der unbekannte Modellvektor sind. Dieses Gleichungssystem ist in der Regel überbestimmt und kann durch Minimalisierung der Fehlerquadrate gelöst werden. Die somit verbesserten Herdparameter können korrigiert und durch erneute Anwendung dieses Verfahrens weiter verbessert werden. In den Matrizen können lineare Abhängigkeiten entstehen, wodurch sich Parameter nicht unabhängig voneinander bestimmen lassen.

Die Tiefe des Erdbebenherdes lässt sich gut durch PKP- oder PKiKP-Phasen auflösen, wohingegen Pn- als auch Sn-Phasen gänzlich ungeeignet dafür sind. Die PKP- sowie die PKiKP-Phasen sind in Seismogrammen allerdings schwer zu erkennen. Das Epizentrum eines Bebens lässt sich am besten auflösen, wenn die Epizentraldistanz zwischen 2 und 5 Grad liegt. Aus geometrischen Betrachtungen folgt, dass der Abstrahlwinkel circa 90 Grad beträgt. Die gleichzeitige Benutzung von P- und S-Ankunftszeiten erhöht die Auflösbarkeit des Hypozentrums enorm, da durch die Abhängigkeit der seismischen Geschwindigkeit ${\displaystyle c_{P}\approx {\sqrt {3}}c_{S}}$, Proportionalitäten in der Jacobi-matrix aufgehoben werden. Der Ablesefehler für S-Phasen ist jedoch wesentlich höher.