Gleichspannungsfall

Bei Gleichspannung treten nur reellwertige Widerstandswerte, sogenannte ohmsche Widerstände auf.

${\displaystyle {\frac {U_{k}}{U}}={\frac {R_{k}}{R}}}$ mit dem Gesamtwiderstand ${\displaystyle R=\sum _{i=1}^{n}R_{i}}$

Bei Gleichspannung sind die einzelnen Teilspannungen immer kleiner als die Gesamtspannung. Das Verhältnis von Teilspannung zur Gesamtspannung nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Typisches Beispiel eines einstellbaren Spannungsteiler ist ein Potentiometer, bei dem über einen verschiebbaren Kontakt auf einem durchgehenden Widerstandskörper das Teilungsverhältnis variabel eingestellt werden kann. Teilspannungen verhalten sich proportional zu den Widerständen, über die sie abfallen. Das bedeutet, je kleiner (größer) der Widerstand ist, desto kleiner (größer) ist die Teilspannung.

Wechselspannungsfall

Bei harmonischer Wechselspannung mit einer konstanten Kreisfrequenz ω können zusätzlich komplexe Widerstände, sogenannte Impedanzen, in Form von Kapazitäten (kapazitiver Spannungsteiler) und Induktivitäten (induktiver Spannungsteiler) auftreten. Die Berechnung eines Spannungsteilers ist dann ein Teil der komplexen Wechselstromrechnung.

${\displaystyle {\frac {U_{k}}{U}}={\frac {Z_{k}}{Z}}}$ mit der Gesamtimpedanz ${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$

Bei Wechselspannung und den auftretenden Impedanzen können durch die Energiespeicherung in den Impedanzen die Teilspannungen an den Kapazitäten und Induktivitäten durch Resonanz größer als die Gesamtspannung werden. Wichtig ist bei der Anwendung der Spannungsteilerregel mit Wechselspannung, dass die Impedanzen, insbesondere Induktivitäten, untereinander über ihre im elektrischen bzw. magnetischen Feld gespeicherte Energie nicht gekoppelt sind. Dieser Umstand ist gleichbedeutend mit der Forderung von passiven Zweipolen, welche keine Spannungs- oder Stromquellen aufweisen.

Magnetische Kreise

In magnetischen Kreisen teilt sich die magnetische Spannung nur auf magnetische Widerstände auf.

${\displaystyle {\frac {U_{m_{k}}}{U_{m}}}={\frac {R_{m_{k}}}{R_{m}}}}$ mit dem Gesamtwiderstand ${\displaystyle R_{m}=\sum _{i=1}^{n}R_{m_{i}}}$

Beispiel mit mehrfacher Anwendung

Gesucht wird die Spannung über ${\displaystyle R_{21}}$ in der nebenstehenden Schaltung. Aufgrund der verschachtelten Lage des Widerstandes ist eine mehrfache Anwendung der Spannungsteilerregel notwendig. Dazu wird zunächst die Spannung ${\displaystyle U_{2}}$ über der Parallelschaltung berechnet. Die Spannungsteilerregel ergibt die Gleichung:

${\displaystyle {\frac {U_{2}}{U}}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

mit ${\displaystyle \,R_{2}=\left(R_{21}+R_{22}\right)\parallel R_{23}}$

Die Teilspannung ${\displaystyle U_{2}}$ teilt sich auf die Reihenschaltung aus ${\displaystyle R_{21}}$ und ${\displaystyle R_{22}}$ auf. Durch nochmalige Anwendung der Spannungsteilerregel, wird die Spannung über ${\displaystyle R_{21}}$ abhängig von ${\displaystyle U_{2}}$ ermittelt:

${\displaystyle {\frac {U_{21}}{U_{2}}}={\frac {R_{21}}{R_{21}+R_{22}}}}$

Werden beide Gleichungen miteinander multipliziert, ergibt sich eine Gesamtgleichung in der ${\displaystyle U_{21}}$ direkt von U abhängig ist:

${\displaystyle {\frac {U_{2}}{U}}\cdot {\frac {U_{21}}{U_{2}}}={\frac {U_{21}}{U}}={\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot {\frac {R_{21}}{R_{21}+R_{22}}}}$

Beispiel für magnetischen Kreis

In magnetischen Kreisen wird die Regel genauso angewendet. Für die Teilspannungen über ${\displaystyle R_{m_{\text{Fe}}}}$ und ${\displaystyle R_{m_{\text{Air}}}}$ ergeben sich die Gleichungen:

${\displaystyle {\frac {U_{m_{\text{Fe}}}}{\Theta }}={\frac {R_{m_{\text{Fe}}}}{R_{m}}}}$

bzw. für den anderen Zweig

${\displaystyle {\frac {U_{m_{\text{Air}}}}{\Theta }}={\frac {R_{m_{\text{Air}}}}{R_{m}}}}$

mit dem Gesamtwiderstand:

${\displaystyle R_{m}=R_{m_{\text{Fe}}}+R_{m_{\text{Air}}}}$

Belasteter Spannungsteiler

In der Schaltung im Abschnitt Einfacher Spannungsteiler mit zwei ohmschen Widerständen sei an den Anschlüssen von R₂ der Ausgang. Wird dort eine Last mit dem Widerstand ${\displaystyle R_{L}}$ parallel zu R₂ angeschlossen, entsteht ein belasteter Spannungsteiler, für den die Spannungsberechnungen neu durchgeführt werden müssen. Der Widerstand der Parallelschaltung ${\displaystyle R_{P}}$ aus ${\displaystyle R_{2}}$ und ${\displaystyle R_{L}}$ ist kleiner als der kleinste Teilwiderstand der Parallelschaltung. Er wird berechnet mit:

${\displaystyle R_{P}=R_{2}\parallel R_{L}={\frac {R_{2}\cdot R_{L}}{R_{2}+R_{L}}}}$

Infolge der Verringerung des Widerstands sinkt nach der Spannungsteilerregel die Spannung ${\displaystyle U_{2}}$ proportional dazu. Sie ergibt sich nun zu:

${\displaystyle U_{2}=U\cdot {\frac {R_{P}}{R_{1}+R_{P}}}}$

Zur Verdeutlichung des Einflusses des Lastwiderstandes kann die ursprüngliche Schaltung ohne R_L in eine Zweipolersatzschaltung mit einer Ersatzspannungsquelle U_2,LL und einem Innenwiderstand R_i umgerechnet werden. Nach den Regeln zur Berechnung von Ersatzschaltungen für aktive Zweipole ergeben sich für dieses Beispiel die folgenden Gleichungen:

${\displaystyle U_{2,LL}=U\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

${\displaystyle R_{i}=R_{1}\|R_{2}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Der Lastwiderstand bleibt von der Umstellung unbeeinflusst und seine Wirkung auf die Ausgangsspannung des Spannungsteilers tritt deutlich hervor. Es entsteht nun ein einfacherer Spannungsteiler aus R_i und R_L.

${\displaystyle U_{2}=U_{2,LL}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{i}+R_{L}}}}$

Mit Hilfe von R_i lässt sich eine Empfehlung zur geeigneten Wahl der Widerstände ausdrücken. Damit der Lastwiderstand einen geringen Einfluss auf die Ausgangsspannung hat, sollte der Innenwiderstand einen deutlich kleineren Wert als die Last aufweisen.

${\displaystyle R_{i}\ll R_{L}\quad \Rightarrow \quad R_{i}<{\frac {1}{10}}\cdot R_{L}}$