Die projektiven linearen Gruppen sind in der Mathematik untersuchte Gruppen, die aus der allgemeinen linearen Gruppe konstruiert werden. Ist der zugrunde liegende Körper endlich, so erhält man wichtige endliche Gruppen; ist der Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$, erhält man auf diese Weise Lie-Gruppen. Eng verwandt sind die speziellen projektiven Gruppen, die zu einer unendlichen Reihe einfacher Gruppen führen.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle K}$. Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ist die Gruppe der linearen Automorphismen ${\displaystyle V\to V}$. Das Zentrum ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V))}$ dieser Gruppe ist die Menge der von 0 verschiedenen skalaren Vielfachen der identischen Abbildung ${\displaystyle \mathrm {id} _{V}}$, das heißt

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V))=K^{\times }\cdot \mathrm {id} _{V}}$.

Da das Zentrum ein Normalteiler ist, kann man die Faktorgruppe

${\displaystyle \operatorname {PGL} (V):=\operatorname {GL} (V)/\operatorname {Z} (\operatorname {GL} (V))}$

bilden. Diese Gruppe heißt die projektive lineare Gruppe auf ${\displaystyle V}$.

Ist ${\displaystyle V}$ ein n-dimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle K}$, also ${\displaystyle V\cong K^{n}}$, so schreibt man

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(K)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,K)}$ für ${\displaystyle \operatorname {PGL} (K^{n})}$.

Ist ${\displaystyle K}$ der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${\displaystyle q=p^{k}}$, ${\displaystyle p}$ Primzahl, Elementen, so schreibt man

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(q)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,q)}$ für ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(K)}$.

Im Falle endlichdimensionaler Vektorräume ${\displaystyle V=K^{n}}$ ist die Determinantenfunktion ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} _{n}(K)\rightarrow K^{\times }}$.

Den Kern ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K):={\det }^{-1}(\{1\})}$ dieses Homomorphismus nennt man die spezielle lineare Gruppe. Schränkt man die oben beschriebene Konstruktion auf diese ein, so erhält man

${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(K):=\operatorname {SL} _{n}(K)/\operatorname {Z} (\operatorname {SL} _{n}(K))}$,

die sogenannte projektive spezielle lineare Gruppe, oder kürzer die projektive spezielle oder spezielle projektive Gruppe. Dabei ist das Zentrum

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SL} _{n}(K))=\{\lambda \cdot \mathrm {id} _{K^{n}}\mid \lambda \in \mathrm {E} _{n}\}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {E} _{n}\subset K^{\times }}$ die Menge der ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln von ${\displaystyle K}$ ist. Ist ${\displaystyle K}$ wieder der Körper mit ${\displaystyle q=p^{k}}$ Elementen, so schreibt man

${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(q)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,q)}$ für ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(K)}$.

Namensherkunft

Es sei ${\displaystyle K^{n}}$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle K}$. Bekanntlich nennt man die Menge aller eindimensionalen Unterräume den projektiven Raum ${\displaystyle KP^{n-1}}$. Jede Matrix aus ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$ bildet eindimensionale Unterräume wieder auf solche ab, dabei ist diese Operation zweier Matrizen auf ${\displaystyle KP^{n-1}}$ dieselbe, wenn sich die Matrizen nur um ein skalares Vielfaches, also um ein Element aus dem Zentrum ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {GL} _{n}(K))}$, unterscheiden. Das gilt auch umgekehrt, denn wenn zwei Matrizen ${\displaystyle A,B\in \operatorname {GL} _{n}(K)}$ die eindimensionalen Unterräume in gleicher Weise permutieren, so lässt ${\displaystyle A^{-1}B}$ alle eindimensionalen Unterräume fest, das heißt, jeder Vektor ist ein Eigenvektor von ${\displaystyle A^{-1}B}$. Daher ist ${\displaystyle K^{n}}$ der einzige Eigenraum zu einem Eigenwert ${\displaystyle a}$ und man hat

${\displaystyle A^{-1}B=a\cdot \mathrm {id} _{K^{n}}\in \operatorname {Z} (\operatorname {GL} _{n}(K))}$.

Daraus folgt, dass ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(K)=\operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {Z} (\operatorname {GL} _{n}(K))}$ auf dem projektiven Raum treu operiert. Das legt die Bezeichnung projektive lineare Gruppe nahe.

Endliche Gruppen

Im Folgenden sei ${\displaystyle K}$ ein Körper mit ${\displaystyle q=p^{k}}$, ${\displaystyle p}$ Primzahl, Elementen. Bekanntlich gibt es bis auf Isomorphie nur einen solchen Körper und jeder endliche Körper ist von dieser Art. Aus der Endlichkeit des Körpers ergibt sich die Endlichkeit von ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$, denn es gibt ja nur ${\displaystyle q^{n^{2}}}$ Matrizen mit ${\displaystyle n}$ Spalten und Zeilen über ${\displaystyle K}$, und damit folgt auch die Endlichkeit der projektiven linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(q)}$ und der speziellen projektiven Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(q)}$. Eine genauere Betrachtung zeigt:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(q)}$   hat   ${\displaystyle (q^{n}-1)\cdot (q^{n}-q)\cdot \ldots \cdot (q^{n}-q^{n-2})\cdot q^{n-1}}$   Elemente.

${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(q)}$   hat   ${\displaystyle (q^{n}-1)\cdot (q^{n}-q)\cdot \ldots \cdot (q^{n}-q^{n-2})\cdot q^{n-1}/\operatorname {ggT} (n,q-1)}$   Elemente.

Beachte, dass man für den Körper ${\displaystyle K}$ mit 2 Elementen nicht zwischen ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(2)}$ und ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(2)}$ unterscheiden muss, da die Determinante in diesem Fall der triviale Gruppenhomomorphismus ist. Auch das Zentrum ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {GL} _{n}(K))=K^{\times }\cdot \mathrm {id} _{K^{n}}}$ ist in diesem Fall nur einelementig, und man hat

${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)\cong \operatorname {PGL} _{n}(2)\cong \operatorname {PSL} _{n}(2)}$.

Gebrochen lineare Transformationen

Im zweidimensionalen Fall ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(K)}$ kann man die Elemente der Gruppe als gebrochen lineare Transformationen auffassen. Ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}(K)}$   mit Determinante   ${\displaystyle ad-bc=1}$,

so betrachte man dazu die gebrochen lineare Transformation

${\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}}$.

Die Menge der gebrochen linearen Transformationen bildet bzgl. der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Gruppe und obige Zuordnung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\quad \mapsto \quad \left(x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\right)}$

ist ein Homomorphismus von ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(K)}$ auf die Gruppe der gebrochen linearen Transformationen, dessen Kern das Zentrum ist. Daher kann die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(K)}$ alternativ als Gruppe gebrochen linearer Transformationen angesehen werden.

Die Determinantenbedingung ${\displaystyle ad-bc=1}$ kann dahingehend abgeschwächt werden, dass ${\displaystyle ad-bc}$ ein Quadrat ist, was im Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ stets der Fall ist. Ist nämlich ${\displaystyle ad-bc=r^{2}}$, so ist ${\displaystyle r\not =0}$, denn es handelt sich ja um die Determinante einer invertierbaren Matrix, und ${\displaystyle (ar^{-1})(dr^{-1})-(br^{-1})(cr^{-1})=1}$. Die Matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}ar^{-1}&br^{-1}\\cr^{-1}&dr^{-1}\end{pmatrix}}}$ wird offenbar auf dieselbe gebrochen lineare Transformation abgebildet.

Erweitert man ${\displaystyle K}$ durch ${\displaystyle \infty }$ zur projektiven Geraden ${\displaystyle KP^{1}}$, deren Elemente die eindimensionalen Unterräume ${\displaystyle K\cdot (1,a)\leftrightarrow a\in K}$ und ${\displaystyle K\cdot (0,1)\leftrightarrow \infty }$ sind, und definiert man bei den gebrochen linearen Transformationen wie üblich eine Division durch 0 als ${\displaystyle \infty }$ und eine Division durch ${\displaystyle \infty }$ als 0, so entspricht die Operation der ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(K)}$ auf ${\displaystyle KP^{1}}$ der Operation der gebrochen linearen Transformationen auf ${\displaystyle KP^{1}}$.

Lie-Gruppen

Ist ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, so erhält man Lie-Gruppen ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(\mathbb {R} )}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(\mathbb {C} )}$ und die speziellen Gruppen ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(\mathbb {R} )}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(\mathbb {C} )}$. Letztere sind für ${\displaystyle n\geq 2}$ die Lie-Gruppen zur Lie-Algebra vom Typ A_n-1. Die Beschreibung als gebrochen lineare Transformation nennt man auch Möbiustransformation.

Einzelnachweise

1. ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Hilfssatz 6.2.
2. ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Hauptsatz 6.13.
3. ↑ Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type. John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Theorem 11.3.2.(i).
4. ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Satz 6.14.
5. ↑ D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 78.
6. ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Hilfssatz 8.1.
7. ↑ P. Anglès: Conformal Groups in Geometry and Spin Structures. Springer-Verlag 2007, ISBN 978-0-8176-3512-1, Kap. 1.1: Classical Groups.