Flächeninhalt

Der Flächeninhalt ${\displaystyle A_{D}}$ eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius ${\displaystyle r}$ berechnen:

${\displaystyle A_{D}=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\cdot r^{2}.}$

Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her:

Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Großkreise unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffnungswinkel ${\displaystyle \beta }$. Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln ${\displaystyle \alpha }$ bzw. ${\displaystyle \gamma }$.

Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt:

${\displaystyle (I)\quad A_{\alpha }=2\alpha \cdot r^{2}}$

(Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$.)

Für die Flächeninhalte ${\displaystyle A_{b}}$ des blauen, ${\displaystyle A_{g}}$ des grünen und ${\displaystyle A_{r}}$ des roten Dreiecks gilt:

${\displaystyle A_{b}=A_{\alpha }-A_{D}}$

${\displaystyle A_{g}=A_{\beta }-A_{D}}$

${\displaystyle A_{r}=A_{\gamma }-A_{D}}$

Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das grüne und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus:

${\displaystyle {\frac {A_{K}}{2}}=A_{b}+A_{g}+A_{r}+A_{D}}$

Setzt man ${\displaystyle (I)}$ ein, ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {A_{K}}{2}}=(A_{\alpha }-A_{D})+(A_{\beta }-A_{D})+(A_{\gamma }-A_{D})+A_{D}}$

${\displaystyle =A_{\alpha }+A_{\beta }+A_{\gamma }-2A_{D}}$

Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man:

${\displaystyle {\frac {4\pi r^{2}}{2}}=2\alpha r^{2}+2\beta r^{2}+2\gamma r^{2}-2A_{D}}$

Für ${\displaystyle A_{D}}$ ergibt sich also:

${\displaystyle A_{D}=\alpha r^{2}+\beta r^{2}+\gamma r^{2}-\pi r^{2}}$

${\displaystyle =(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\cdot r^{2}}$

Innenwinkelsumme und sphärischer Exzess

Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt nach obiger Betrachtung für den Flächeninhalt:

${\displaystyle A_{D}=\alpha +\beta +\gamma -\pi }$

Die Summe ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma -\pi }$ wird als sphärischer Exzess (von lat. excedere „überschreiten“) bezeichnet und gibt an, um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert ${\displaystyle \pi }$ (${\displaystyle =180^{\circ }}$) übersteigt. Im Gegensatz zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck nicht konstant ${\displaystyle \pi }$. Für sie gilt (als Konsequenz der Formel für den Flächeninhalt) im allgemeinen Kugeldreieck:

${\displaystyle \pi <\alpha +\beta +\gamma <5\pi }$

im eulerschen Kugeldreieck:

${\displaystyle \pi <\alpha +\beta +\gamma <3\pi }$

Bei einem kleinen Kugeldreieck („klein“ im Vergleich zur gesamten Kugeloberfläche) übersteigt die Innenwinkelsumme ${\displaystyle \pi }$ nur wenig, da sich das Dreieck dem ebenen Fall des Innen-Winkelsummensatzes annähert (Verebnung). Der Satz von Legendre besagt, wie sphärische Dreiecke geringer Größe durch Reduktion der Winkel verebnet werden können. Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (3 Winkel zu fast ${\displaystyle \pi }$), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als ${\displaystyle 3\pi }$ und der Exzess daher beinahe ${\displaystyle 2\pi }$.

Seitensumme (auf der Einheitskugel)

Im allgemeinen sphärischen Dreieck gilt für die Seitensumme:

${\displaystyle 0<a+b+c<6\pi }$

Im eulerschen Kugeldreieck gilt für die Seitensumme:

${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$

Kongruenzsätze

Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsätzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden. Für beide gilt, dass ähnliche Dreiecke bereits kongruent sind (ihr Flächeninhalt ist aufgrund der Proportionalität zum sphärischen Exzess bereits gleich). Der im euklidischen Dreieck gültige Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) hat auf der Kugel hingegen keine Gültigkeit (vgl. Abbildung). Die Kongruenzverhältnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

(zur Dualisierung vgl. entsprechenden Abschnitt im Artikel Sphärische Geometrie)
In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse (vgl. Abbildungen).

Sinussatz

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}}$

Dabei sind ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ die gegenüber liegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.