Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

Definition

Eine Spitze ist ein Ende ${\displaystyle E}$ einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g_{M})}$, dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

${\displaystyle E\cong N\times \left[0,\infty \right)}$

parametrisieren lässt mit

${\displaystyle g_{M}=dt^{2}+e^{-2t}g_{N}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle (N,g_{N})}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle \operatorname {dim} (N)=\operatorname {dim} (M)-1}$ und ${\displaystyle t\in \left[0,\infty \right)}$ ist der Parameter des zweiten Faktors in ${\displaystyle N\times \left[0,\infty \right)}$.

Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

Beispiele

• Spitzen von ${\displaystyle n}$-dimensionalen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale flache Mannigfaltigkeit.
• Spitzen von ${\displaystyle 2n}$-dimensionalen komplex-hyperbolischen Mannigfaltigkeit haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur ${\displaystyle (2n-1)}$-dimensionalen Heisenberg-Gruppe ist.
• Spitzen von quaternionisch-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur quaternionischen Heisenberg-Gruppe ist.
• In einem lokal symmetrischen Raum ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$ von endlichem Volumen und ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang ${\displaystyle rk_{\mathbb {Q} }(\Gamma )=1}$ sind alle Enden Spitzen, ihr Querschnitt kann aus der Langlands-Zerlegung bestimmt werden.

Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M=\Gamma \backslash H^{n}}$ sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

${\displaystyle \Gamma _{c}\backslash H_{c}}$,

wobei ${\displaystyle H_{c}}$ ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen ${\displaystyle c\in \partial _{\infty }H^{n}}$ und ${\displaystyle \Gamma _{c}\subset \Gamma }$ eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt ${\displaystyle c}$ ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

${\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (H_{c})=\operatorname {dim} (M)-1}$ sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume ${\displaystyle X}$) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen ${\displaystyle c\in \partial _{\infty }X}$ oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien ${\displaystyle \Gamma _{c}}$ mit ${\displaystyle c}$ als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass ${\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (M)-1}$ ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten ${\displaystyle \Gamma _{c}\backslash H_{c}}$ betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ist. Wenn ${\displaystyle r:=\operatorname {rank} (\Gamma _{c})<\operatorname {dim} (X)-1}$ ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang-${\displaystyle r}$-Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil ${\displaystyle M_{<\epsilon }}$ einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ entweder eine Spitze vom Rang ${\displaystyle 1}$ oder ${\displaystyle 2}$ oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu ${\displaystyle D^{*}\times R_{+}}$ mit ${\displaystyle D^{*}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon 0<z<1\right\}}$, die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu ${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} _{+}}$ für den Torus ${\displaystyle T^{2}}$.

Literatur

Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

Siehe auch

• Spitze (Hyperbolische Geometrie)