Mathematische Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable auf diesem Raum. Die Varianz ist definiert als die zu erwartende quadratische Abweichung dieser Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert ${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu }$, sofern dieser existiert:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X):=\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)=\int _{\Omega }(X-\mu )^{2}\,\mathrm {d} P}$

Erklärung der Definition

Die Definition sagt Folgendes: Gegeben ist eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$.

Eigenschaften

• Sofern die Varianz existiert, gilt ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0}$. Die Varianz kann aber auch den Wert ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\infty }$ annehmen, wie es bei der Lévy-Verteilung der Fall ist. Eine Verteilung, die keine Varianz hat, ist die Cauchy-Verteilung, da für diese schon der Erwartungswert nicht existiert.

• Falls man die zentrierte Zufallsvariable ${\displaystyle Z:=X-\mu _{X}}$ betrachtet, so ist die Varianz deren zweites Moment ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} (Z^{2})}$.

• Falls eine Zufallsvariable quadratisch integrierbar ist, das heißt ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{2})<\infty }$, so sind wegen des Verschiebungssatzes ihre Varianz und ihr Erwartungswert endliche Größen:

${\displaystyle 0\leq (X-1)^{2}+|X|\implies |X|\leq X^{2}-2X+1+2|X|\implies |X|\leq X^{2}+1\implies \mathbb {E} (|X|)\leq \mathbb {E} (X^{2})+1<\infty }$

Interpretation als Funktional

Die Varianz ist ein Funktional auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert. Sie kann aber auch als nichtlineares Funktional auf dem Raum aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen ${\displaystyle \chi _{1}}$, die einen endlichen Erwartungswert besitzen, verstanden werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [\cdot ]&\colon \chi _{1}\to \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}\\\operatorname {Var} [F]&=\int (x-\mu (F))^{2}\mathrm {d} F(x)\end{aligned}}}$

Dabei werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit ihren Verteilungsfunktionen identifiziert. Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Erwartungswert ${\displaystyle \mu (F)}$ nicht endlich ist, ist die Varianz nicht definiert.

Notation

Da die Varianz ein Funktional ist, wird sie wie der Erwartungswert (besonders in anglophoner Literatur) oft auch mit eckigen Klammern ${\displaystyle \operatorname {Var} \left[X\right]}$ geschrieben. Sie wird mitunter als ${\displaystyle \operatorname {V} (X)}$ oder ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ notiert. Besteht keine Verwechslungsgefahr, wird sie einfach als ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (lies: Sigma Quadrat) notiert. Da die Varianz vor allem in älterer Literatur auch als Dispersion beziehungsweise Streuung bezeichnet wurde, begegnet man häufig der Notation ${\displaystyle D^{2}(X)}$.

Die Notation mit dem Quadrat des griechischen Buchstabens Sigma ${\displaystyle \sigma }$ rührt daher, dass die Berechnung der Varianz der Dichtefunktion einer Normalverteilung genau dem Parameter ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ der Normalverteilung entspricht. Da die Normalverteilung in der Stochastik eine sehr wichtige Rolle spielt, wird die Varianz im Allgemeinen mit ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ notiert (siehe auch Abschnitt Varianzen spezieller Verteilungen). Des Weiteren wird in der Statistik und insbesondere in der Regressionsanalyse das Symbol ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ verwendet, um die wahre unbekannte Varianz der Störgrößen zu kennzeichnen.

Varianz bei diskreten Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertebereich ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k},\dotsc \}}$ wird diskret genannt. Ihre Varianz berechnet sich dann als gewichtete Summe der Abweichungsquadrate (vom Erwartungswert):

${\displaystyle \sigma ^{2}=(x_{1}-\mu )^{2}p_{1}+(x_{2}-\mu )^{2}p_{2}+\ldots +(x_{k}-\mu )^{2}p_{k}+\ldots =\sum _{i\geq 1}(x_{i}-\mu )^{2}p_{i}}$

Hierbei ist ${\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ den Wert ${\displaystyle x_{i}}$ annimmt. Es wird in obiger Summe also jede mögliche Ausprägung ${\displaystyle (x_{i}-\mu )^{2}}$ mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens ${\displaystyle p_{i}}$ gewichtet. Die Varianz ist bei diskreten Zufallsvariablen also eine gewichtete Summe mit den Gewichten ${\displaystyle p_{i}\;(i=1,\ldots ,n)}$. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ stellt ebenfalls eine gewichtete Summe dar, die durch

${\displaystyle \mu =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\ldots +x_{k}p_{k}+\ldots =\sum _{i\geq 1}x_{i}p_{i}}$

gegeben ist. Die Summen erstrecken sich jeweils über alle Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann. Im Falle eines abzählbar unendlichen Wertebereichs ergibt sich eine unendliche Summe. In Worten berechnet sich die Varianz, im diskreten Fall, als Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten der Realisierungen der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit der jeweiligen quadrierten Abweichung.

Varianz bei stetigen Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ wird als stetig bezeichnet, wenn ihr Wertebereich eine überabzählbare Menge ist. Falls die Zufallsvariable absolut stetig ist, dann existiert als Konsequenz des Satzes von Radon-Nikodým eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: Dichte) ${\displaystyle f_{X}(x)}$. Im Fall einer reellwertigen Zufallsvariablen lässt sich die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(t)=P(X\leq t)}$, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, wie folgt als Integral darstellen:

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,\mathrm {d} x}$

Für die Varianz einer reellwertigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit Dichte ${\displaystyle f(x)}$ gilt nun

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)\,\mathrm {d} x\quad }$,

wobei ihr Erwartungswert gegeben ist durch ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$.

Die Varianz berechnet sich bei Existenz einer Dichte als das Integral über das Produkt der quadrierten Abweichung und der Dichtefunktion der Verteilung. Es wird also über den Raum aller möglichen Ausprägungen (möglicher Wert eines statistischen Merkmals) integriert.

Tschebyscheffsche Ungleichung

Mithilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung lässt sich unter Verwendung der existierenden ersten beiden Momente die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, dass die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ Werte in bestimmten Intervallen der reellen Zahlengeraden annimmt, ohne jedoch die Verteilung von ${\displaystyle X}$ zu kennen. Sie lautet für eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$:

${\displaystyle P\left(\left|X-\mu \right|\geq k\right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}\quad ,k>0}$

Die Tschebyscheffsche Ungleichung gilt sowohl für symmetrische als auch für schiefe Verteilungen, sie setzt also keine besondere Verteilungsform voraus. Ein Nachteil der Tschebyscheffschen Ungleichung ist, dass sie nur eine grobe Abschätzung liefert.

Popovicius Ungleichung für Varianzen

Mit Hilfe der Ungleichung von Popoviciu kann man die Varianz nach oben beschränken. Sei ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable mit Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ und ${\displaystyle m=\operatorname {inf} (X)}$, ${\displaystyle M=\operatorname {sup} (X)}$, dann gilt:

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}}$

Gesetz der totalen Varianz

Das Gesetz der totalen Varianz (auch Gesetz der iterierten Varianz oder Eves Gesetz) sagt: Falls ${\displaystyle X,Y}$ zwei Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum sind und die Varianz von ${\displaystyle Y}$ endlich ist, dann gilt:

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\mathbb {E} \left[\operatorname {Var} [Y\mid X]\right]+\operatorname {Var} \left[\mathbb {E} [Y\mid X]\right]}$

Allgemeiner gilt: Wenn ${\displaystyle Y\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$, dann gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\mathbb {E} \left[\operatorname {Var} [Y\mid {\mathcal {G}}]\right]+\operatorname {Var} \left[\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]\right].}$

Physikalische Interpretation

Die Varianz ist neben dem Erwartungswert die zweite wichtige Kenngröße der Verteilung einer reellen Zufallsvariablen. Das ${\displaystyle r}$-te zentrale Moment von ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle \mu _{r}=\mathbb {E} \left((X-\mu )^{r}\right)}$. Für ${\displaystyle r=2}$ wird das zentrale Moment zweiter Ordnung ${\displaystyle \mu _{2}=\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}$ Varianz der Verteilung von ${\displaystyle X}$ genannt. Der Begriff „Moment“ stammt originär aus der Physik. Wenn man die möglichen Werte als Massepunkte mit den Massen auf der (als gewichtslos angenommenen) reellen Zahlengeraden interpretiert, dann erhält man eine physikalische Interpretation des Erwartungswertes: Das erste Moment, der Erwartungswert, stellt dann den physikalischen Schwerpunkt beziehungsweise Massenmittelpunkt des so entstehenden Körpers dar. Die Varianz kann dann als Trägheitsmoment des Massesystems bezüglich der Rotationsachse um den Schwerpunkt interpretiert werden. Im Gegensatz zum Erwartungswert, der also die Wahrscheinlichkeitsmasse balanciert, ist die Varianz ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsmasse um ihren Erwartungswert.

Interpretation als Abstand

Die Interpretation der Varianz einer Zufallsvariablen als mittlerer quadrierter Abstand lässt sich wie folgt erklären: Der Abstand zwischen zwei Punkten ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ auf der reellen Zahlengeraden ist gegeben durch ${\displaystyle d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}}}}$. Wenn man jetzt definiert, dass ein Punkt die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist und der andere ${\displaystyle \mu =\mathbb {E} (X)}$, dann gilt ${\displaystyle d={\sqrt {(X-\mu )^{2}}}}$, und der quadrierte Abstand lautet ${\displaystyle (X-\mu )^{2}}$. Folglich wird ${\displaystyle \mathbb {E} ((X-\mu )^{2})}$ als der mittlere quadrierte Abstand zwischen der Realisierung der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und dem Erwartungswert ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$ interpretiert, wenn das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird.

Interpretation als Maß für Determinismus

Die Varianz beschreibt außerdem die Breite einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und daher, wie „stochastisch“ oder wie „deterministisch“ ein betrachtetes Phänomen ist. Bei einer großen Varianz liegt eher eine stochastische Situation vor und bei einer kleinen Varianz eher eine deterministische. Im Spezialfall einer Varianz von Null liegt eine vollständig deterministische Situation vor. Die Varianz ist genau dann Null, wenn die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit nur einen bestimmen Wert, nämlich den Erwartungswert, annimmt – wenn also ${\displaystyle P(X=\mu )=1}$ gilt. So eine „Zufallsvariable“ ist mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant und kann in diesem Sinn als „deterministisch“ bezeichnet werden. Da für eine Zufallsvariable mit dieser Eigenschaft ${\displaystyle P(X=x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\neq \mu }$ gilt, wird deren Verteilung manchmal auch als „entartet“ bezeichnet. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ${\displaystyle P(X=\mu )=1}$ für eine reelle Zahl ${\displaystyle \mu }$ heißt degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Dirac-Verteilung.

Der Unterschied zwischen einer Konstanten ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, die einer reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{\mu }\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle X_{\mu }(\omega )=1}$ für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ entspricht, und einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle P(X=\mu )=1}$ ist, dass im zweiten Fall realisierte Werte der Zufallsvariablen möglich sind, die von ${\displaystyle \mu }$ verschieden sind, die aber insgesamt die Wahrscheinlichkeit Null haben, es gilt also ${\displaystyle P(X\neq \mu )=1}$. In beiden Fällen hat die Varianz den Wert Null.

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen gilt für stetige Zufallsvariablen stets ${\displaystyle P(X=x)=0}$ für jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Im stetigen Fall beschreibt die Varianz die Breite einer Dichtefunktion. Die Breite wiederum ist ein Maß für die Unsicherheit, die mit einer Zufallsvariable verbunden ist. Je schmaler die Dichtefunktion ist, desto genauer kann der Wert von ${\displaystyle X}$ vorhergesagt werden.

Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz ist das stochastische Analogon zum Steinerschen Satz zur Berechnung von Trägheitsmomenten. Es gilt mit ${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu }$ und für beliebiges reelles ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)+(\mu -a)^{2}}$,

d. h., die mittlere quadratische Abweichung von ${\displaystyle X}$ bzgl. ${\displaystyle a}$ (physikalisch: das Trägheitsmoment bzgl. der Achse ${\displaystyle a}$) ist gleich der Varianz (physikalisch: gleich dem Trägheitsmoment bzgl. der Achse durch den Schwerpunkt ${\displaystyle \mu }$) plus dem Quadrat der Verschiebung ${\displaystyle \mu -a}$.

Aus dem Verschiebungssatz ergibt sich überdies für beliebiges reelles ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)\quad }$ bzw. ${\displaystyle \quad \operatorname {Var} (X)=\min _{a\in R}\mathbb {E} \left((X-a)^{2}\right)}$

Siehe auch Fréchet-Prinzip.

Für ${\displaystyle a=0}$ erhält man als bekannteste Variante des Verschiebungssatzes:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\mathbb {E} \left(X\right)^{2}=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\mu ^{2}}$

Die Varianz als zentrales, auf den Erwartungswert (das „Zentrum“) bezogenes Moment lässt sich also auch als nichtzentrales Moment ausdrücken.

Aus dem Verschiebungssatz folgt wegen der Nichtnegativitätsbedingung der Varianz ${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{2}\right)-\left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}\geq 0}$, somit gilt ${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{2}\right)\geq \left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}}$. Dieses Resultat ist ein Spezialfall der jensenschen Ungleichung für Erwartungswerte. Der Verschiebungssatz beschleunigt die Berechnung der Varianz, da der dazu nötige Erwartungswert von ${\displaystyle X^{2}}$ zusammen mit ${\displaystyle \mu }$ gebildet werden kann, während sonst ${\displaystyle \mu }$ bereits bekannt sein muss – konkret für diskrete beziehungsweise stetige Zufallsvariablen liefert er:

Falls ${\displaystyle X}$ diskret	Falls ${\displaystyle X}$ stetig
${\displaystyle \sigma ^{2}=\left(\sum _{i\geq 1}x_{i}^{2}p_{i}\right)-\left(\sum _{i\geq 1}x_{i}p_{i}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x-\left(\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}}$

Lineare Transformation

Für zwei Konstanten ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt:

• Die Varianz einer Konstanten ist Null, da Konstanten per Definition nicht zufällig sind und somit auch nicht streuen: ${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0}$; ${\displaystyle \operatorname {Var} (b)=0}$
• Translationsinvarianz: Für additive Konstanten gilt ${\displaystyle \operatorname {Var} (X+b)=\mathbb {E} \left((X+b-\mu -b)^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)}$. Dies bedeutet, dass eine „Verschiebung der Zufallsvariablen“ um einen konstanten Betrag keine Auswirkung auf deren Streuung hat.
• Im Gegensatz zu additiven Konstanten haben multiplikative Konstanten eine Auswirkung auf die Skalierung der Varianz. Bei multiplikativen Konstanten wird die Varianz mit der quadrierten der Konstanten, also ${\displaystyle a^{2}}$, skaliert. Dies kann wie folgt gezeigt werden:

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=\mathbb {E} \left((aX-a\mu )^{2}\right)=\mathbb {E} \left(a^{2}(X-\mu )^{2}\right)=a^{2}\operatorname {Var} (X)}$

Hierbei wurde die Eigenschaft der Linearität des Erwartungswertes benutzt. Zusammengefasst ergibt die Varianzbildung einer linearen transformierten Zufallsvariablen ${\displaystyle Y=aX+b}$:

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)}$

Insbesondere für ${\displaystyle a=-1}$ folgt ${\displaystyle \operatorname {Var} (-X)=\operatorname {Var} (X)}$, das heißt, das Vorzeichen der Varianz ändert sich nicht, wenn sich das Vorzeichen der Zufallsvariablen ändert.

Jede Zufallsvariable kann durch Zentrierung und anschließende Normierung, genannt Standardisierung, in eine Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ überführt werden. Diese Normierung ist eine lineare Transformation. Die derart standardisierte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ weist eine Varianz von ${\displaystyle 1}$ und einen Erwartungswert von ${\displaystyle 0}$ auf.

Beziehung zur Standardabweichung

Die Varianz einer Zufallsvariablen wird immer in Quadrateinheiten angegeben. Dies ist problematisch, weil quadrierte Einheiten, die auf diesem Wege zustande kommen – wie zum Beispiel ${\displaystyle {\text{cm}}^{2}}$ –, keine sinnvolle Interpretation bieten; die Interpretation als Flächenmaß ist im vorliegenden Beispiel unzulässig. Um die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable zu erhalten, wird daher statt der Varianz i. d. R. die Standardabweichung verwendet. Sie hat die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable selbst und misst somit, bildlich gesprochen, „mit dem gleichen Maß“.

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz:

${\displaystyle \operatorname {SD} (X):=+{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}=+{\sqrt {\mathbb {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}}$

Sie wird als ${\displaystyle \operatorname {SD} (X)}$ (gelegentlich auch als ${\displaystyle D(X)}$), ${\displaystyle \sigma _{X}}$, oder einfach als ${\displaystyle \sigma }$ (Sigma) notiert. Ferner eignet sich die Standardabweichung zur Quantifizierung von Unsicherheit bei Entscheidungen unter Risiko, weil sie, im Unterschied zur Varianz, den Anforderungen an ein Risikomaß genügt.

Bei einigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere der Normalverteilung, können aus der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. So befinden sich bei der Normalverteilung immer ca. 68 % der Werte im Intervall von der Breite von zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert. Beispiel hierfür ist die Körpergröße: Sie ist für eine Nation und Geschlecht annähernd normalverteilt, sodass z. B. in Deutschland 2006 ca. 68 % aller Männer etwa zwischen 171 und 186 cm groß waren (ca. ${\displaystyle 178{,}3\pm 7{,}3\;{\text{cm}}}$, also „Erwartungswert plus/minus Standardabweichung“).

Für die Standardabweichung gilt für jede Konstante ${\displaystyle c}$: ${\displaystyle \operatorname {SD} (c)=0}$. Im Gegensatz zur Varianz gilt für die Standardabweichung die Rechenregel ${\displaystyle \operatorname {SD} (aX+b)=|a|\operatorname {SD} (X)}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ für lineare Transformationen, das heißt, die Standardabweichung wird im Gegensatz zur Varianz nicht mit dem Quadrat ${\displaystyle a^{2}}$ der Konstanten skaliert. Insbesondere gilt für ${\displaystyle a>0}$: ${\displaystyle \operatorname {SD} (aX+b)=a\cdot \operatorname {SD} (X)}$.

Beziehung zur Kovarianz

Im Gegensatz zur Varianz, die lediglich die Variabilität der betrachteten Zufallsvariablen misst, misst die Kovarianz die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Die Varianz ist demnach die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst: ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)}$. Diese Beziehung folgt direkt aus den Definition von Varianz und Kovarianz. Die Kovarianz zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ wird auch mit ${\displaystyle \sigma _{X,Y}}$ abgekürzt. Außerdem gilt, da die Kovarianz eine positiv semidefinite Bilinearform ist, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

${\displaystyle (\operatorname {Cov} (X,Y))^{2}\leq \operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)}$

Diese bedeutende Ungleichung findet vor allem in der linearen Algebra Anwendung.

Summen und Produkte

Für die Varianz einer beliebigen Summe von Zufallsvariablen ${\displaystyle X=a_{1}X_{1}+\dotsb +a_{n}X_{n}}$ gilt allgemein:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(X\right)&=a_{1}^{2}\operatorname {Var} \left(X_{1}\right)+\dotsb +a_{n}^{2}\operatorname {Var} \left(X_{n}\right)+2a_{1}a_{2}\operatorname {Cov} \left(X_{1},X_{2}\right)+2a_{1}a_{3}\operatorname {Cov} \left(X_{1},X_{3}\right)+\dotsb \\&=\sum \nolimits _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum \nolimits _{i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}$ die Kovarianz der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ und ${\displaystyle X_{j}}$ und es wurde die Eigenschaft ${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{i}\right)=\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)}$ verwendet. Berücksichtigt man das Verhalten der Varianz bei linearen Transformationen, dann gilt für die Varianz einer Linearkombination (einer gewichteten Summe) zweier Zufallsvariablen:

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y)}$

Speziell für zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle a=b=1}$ ergibt sich:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)}$

Dies bedeutet, dass die Variabilität der Summe zweier Zufallsvariablen gleich der Summe der einzelnen Variabilitäten und dem Zweifachen der gemeinsamen Variabilität der beiden Zufallsvariablen ist.

Ein weiterer Grund, warum die Varianz anderen Streuungsmaßen vorgezogen wird, ist die nützliche Eigenschaft, dass die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen gleich der Summe der Varianzen ist:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X\pm Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)}$

Dies resultiert daraus, dass bei unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0}$ gilt. Diese Formel lässt sich auch verallgemeinern: Wenn ${\displaystyle \{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ paarweise unkorrelierte Zufallsvariablen sind (das heißt, ihre Kovarianzen sind alle gleich Null), gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(X_{1}+\dotsb +X_{n}\right)=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})}$

oder allgemeiner mit beliebigen Konstanten ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(a_{1}X_{1}+\dotsb +a_{n}X_{n}\right)=a_{1}^{2}\operatorname {Var} \left(X_{1}\right)+\dotsb +a_{n}^{2}\operatorname {Var} \left(X_{n}\right)\end{aligned}}}$

Dieses Resultat wurde 1853 vom französischen Mathematiker Irénée-Jules Bienaymé entdeckt und wird daher auch als Gleichung von Bienaymé bezeichnet. Sie gilt insbesondere dann, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, denn aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit. Wenn alle Zufallsvariablen die gleiche Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ haben, bedeutet dies für die Varianzbildung des Stichprobenmittels:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

Man kann erkennen, dass die Varianz des Stichprobenmittels sinkt, wenn der Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ steigt. Diese Formel für die Varianz des Stichprobenmittels wird bei der Definition des Standardfehlers des Stichprobenmittels benutzt, der im zentralen Grenzwertsatz angewendet wird.

Sind zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ unabhängig, dann ist die Varianz ihres Produktes gegeben durch:

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=(\mathbb {E} (X))^{2}\operatorname {Var} (Y)+(\mathbb {E} (Y))^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)}$

Zusammengesetzte Zufallsvariable

Ist ${\displaystyle Y}$ eine zusammengesetzte Zufallsvariable, d. h., sind ${\displaystyle N,X_{1},X_{2},\dotsc }$ unabhängige Zufallsvariablen, sind die ${\displaystyle X_{i}}$ identisch verteilt und ist ${\displaystyle N}$ auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ definiert, so lässt sich ${\displaystyle Y}$ darstellen als ${\displaystyle Y:=\sum \nolimits _{i=1}^{N}X_{i}}$. Existieren die zweiten Momente von ${\displaystyle N,X_{1},X_{2},\dotsc }$, so gilt für die zusammengesetzte Zufallsvariable:

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (N)\left(\mathbb {E} \left(X_{1}\right)\right)^{2}+\mathbb {E} (N)\operatorname {Var} \left(X_{1}\right)}$

Diese Aussage ist auch als Blackwell-Girshick-Gleichung bekannt und wird z. B. in der Schadensversicherungsmathematik benutzt.

Momenterzeugende und kumulantenerzeugende Funktion

Mithilfe der momenterzeugenden Funktion lassen sich Momente wie die Varianz häufig einfacher berechnen. Die momenterzeugende Funktion ist definiert als Erwartungswert der Funktion ${\displaystyle e^{tX}}$. Da für die momenterzeugende Funktion ${\displaystyle \mathbb {E} \left(e^{tX}\right)}$ der Zusammenhang

${\displaystyle M_{X}^{(n)}(t=0)=\mathbb {E} \left(X^{n}\right)}$

gilt, lässt sich die Varianz, durch den Verschiebungssatz, damit auf folgende Weise berechnen:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} \left(X^{2}\right)-(\mathbb {E} (X))^{2}=M_{X}''(0)-\left(M_{X}'(0)\right)^{2}}$

Hierbei ist ${\displaystyle M_{X}}$ die momenterzeugende Funktion und ${\displaystyle M_{X}^{(n)}}$ deren ${\displaystyle n}$-te Ableitung. Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariablen ergibt sich als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion und ist definiert als:

${\displaystyle g_{X}(t):=\ln \mathbb {E} (e^{tX})}$

Leitet man sie zweimal ab und wertet sie an der Stelle Null aus, so erhält man für die Varianz ${\displaystyle g''_{X}(t){\bigg |}_{t=0}=\sigma ^{2}}$. Die zweite Kumulante ist also die Varianz.

Charakteristische und wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die Varianz einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ lässt sich auch mit Hilfe ihrer charakteristischen Funktion ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} tX}\right)}$ darstellen. Wegen

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}\;,k=1,2,\dots }$

${\displaystyle (\mathbb {E} (X))^{2}=\left({\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\right)^{2}}$

folgt nämlich mit dem Verschiebungssatz:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}={\frac {\varphi _{X}''(0)}{\mathrm {i} ^{2}}}-\left({\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\right)^{2}}$

Auch mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ${\displaystyle m_{X}(t)=\mathbb {E} (t^{X})}$, die in Beziehung zur charakteristische Funktion steht, lässt sich für diskrete ${\displaystyle X}$ die Varianz berechnen. Es gilt dann für die Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}=\lim _{t\uparrow 1}\left(m_{X}''(t)+m_{X}'(t)-m_{X}'(t)^{2}\right)}$, falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert

Im Falle einer diskreten Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit abzählbar endlichem Träger ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}\subset \mathbb {R} }$ ergibt sich für die Varianz der Zufallsvariablen ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p_{1}(x_{1}-\mu )^{2}+p_{2}(x_{2}-\mu )^{2}+\dotsb +p_{n}(x_{n}-\mu )^{2}}$

Hierbei ist ${\displaystyle p_{i}=P\left(X=x_{i}\right)}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ den Wert ${\displaystyle x_{i}}$ annimmt. Diese Varianz kann als Summe der Werte ${\displaystyle \left(x_{1}-\mu \right)^{2},\left(x_{2}-\mu \right)^{2},\dotsc ,\left(x_{n}-\mu \right)^{2}}$, gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{n}}$, interpretiert werden.

Falls ${\displaystyle X}$ gleichverteilt auf ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}\subset \mathbb {R} }$ ist (${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\dotsb =p_{n}=1/n}$), ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel (siehe Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert):

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\overline {x}}}$

Folglich wird die Varianz ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p_{1}(x_{1}-\mu )^{2}+p_{2}(x_{2}-\mu )^{2}+\dotsb +p_{n}(x_{n}-\mu )^{2}}$ zum arithmetischen Mittel der Werte ${\displaystyle (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\left(\left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}+\left(x_{2}-{\overline {x}}\right)^{2}+\dotsb +\left(x_{n}-{\overline {x}}\right)^{2}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}=s^{2}}$

D. h., die Varianz ist bei Gleichverteilung gerade die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert bzw. die Stichprobenvarianz ${\displaystyle s^{2}}$.

Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen

Münzwurf

Eine Münze wird 7-mal geworfen. Wenn die diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ die Anzahl der Würfe zählt, mit denen „Zahl“ geworfen wird, ergibt sich für ${\displaystyle X}$ die Binomialverteilung

${\displaystyle B(i\mid {\tfrac {1}{2}},7)={\begin{cases}{\binom {7}{k}}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\right)^{7-i}&{\text{falls}}\quad i\in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

mit ${\displaystyle n=7}$ und ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$. Die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:

${\displaystyle X=x_{i}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i}}$	${\displaystyle {\frac {1}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {21}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {35}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {35}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {21}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{128}}}$

Der Erwartungswert beträgt

${\displaystyle {\color {BrickRed}\mu }=np=7\cdot {\frac {1}{2}}={\color {BrickRed}3{,}5}}$

und daher ist die Varianz gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sum _{i=0}^{7}(x_{i}-{\color {BrickRed}\mu })^{2}p_{i}=(0-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {1}{128}}+(1-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+(2-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+(3-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {35}{128}}\\&\quad +(4-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+(5-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+(6-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+(7-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {1}{128}}={\frac {7}{4}}=1{,}75\end{aligned}}}$

Auch mit dem Verschiebungssatz erhält man diesen Wert für die Varianz:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\left(\sum _{i=0}^{7}x_{i}^{2}p_{i}\right)-\left(\sum _{i=0}^{7}x_{i}p_{i}\right)^{2}=0^{2}\cdot {\frac {1}{128}}+1^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+2^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+3^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+4^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+5^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+6^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+7^{2}\cdot {\frac {1}{128}}-{\color {BrickRed}3{,}5}^{2}=1{,}75}$

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}={\sqrt {1{,}75}}\approx 1{,}323}$

Community Cards bei Texas Hold’em

Bei der Pokervariante Texas Hold’em werden von den 52 Spielkarten 5 Community Cards aufgedeckt. Wenn die diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ die Anzahl der Asse zählt, die aufgedeckt werden, ergibt sich für ${\displaystyle X}$ die hypergeometrische Verteilung ${\displaystyle h(k\mid 52;4;5):=P(X=k)={\frac {\displaystyle {4 \choose k}{52-4 \choose 5-k}}{\displaystyle {52 \choose 5}}}}$ mit ${\displaystyle N=52}$ Spielkarten, ${\displaystyle M=4}$ Assen und ${\displaystyle n=5}$ Community Cards. Die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:

${\displaystyle X=x_{i}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i}}$	${\displaystyle {\frac {1712304}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {778320}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {103776}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {4512}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {48}{2598960}}}$

Der Erwartungswert beträgt

${\displaystyle {\color {BrickRed}\mu }=n\cdot {\frac {M}{N}}=5\cdot {\frac {4}{52}}={\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}}$

und daher ist die Varianz gegeben durch:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=0}^{4}(x_{i}-{\color {BrickRed}\mu })^{2}p_{i}=\left(0-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {1712304}{2598960}}+\left(1-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {778320}{2598960}}+\left(2-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {103776}{2598960}}+\left(3-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {4512}{2598960}}+\left(4-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {48}{2598960}}\approx 0{,}327}$

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}\approx {\sqrt {0{,}327}}\approx 0{,}572}$

Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ habe die Dichtefunktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{falls}}\quad 1\leq x\leq e\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

mit den Erwartungswerten:

${\displaystyle \mathbb {E} (X)={\color {BrickRed}\mu }=\int _{1}^{e}x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\color {BrickRed}{e-1}}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{e}x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{e}={\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}}$

Die Varianz dieser Dichtefunktion berechnet sich mit Hilfe des Verschiebungssatzes wie folgt:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x-{\color {BrickRed}\mu }^{2}={\frac {e^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\color {BrickRed}(e-1)}^{2}\approx 0{,}242}$