Kontaktfläche

Analytisch beschrieben wird der Aufbau mit der Stromfadentheorie, also den eindimensionalen Strömungsgleichungen. Für die hier betrachtete Dynamik erfolgt kein Zu- oder Abfluss an Wärme, die Zustandsänderungen sind adiabatisch.

Die Geschwindigkeit, mit der sich das Treibgas in das Kompressionsrohr ausbreitet, ergibt sich aus der Bernoulligleichung

${\displaystyle p_{a}=\int _{p_{a}}^{p_{b}}(1/\rho )dp+\int _{0}^{u_{b}}udu={\text{const}}.}$

Dabei bezeichnet p den Druck, ${\displaystyle \rho }$ die Dichte und u die Strömungsgeschwindigkeit. Das erste Integral kann isentrop betrachtet mit der Beziehung ${\displaystyle p\rho ^{-\kappa }=p_{a}\rho _{a}^{-\kappa }}$=const gelöst werden. Die Indizes der Formelzeichen beziehen dabei sich auf die im Diagramm skizzierten Stellen im Stoßrohr. Als maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit des Treibgases ergibt sich im Fall ${\displaystyle p_{b}=0}$ zu

${\displaystyle u_{\text{max}}={\sqrt {2\kappa /(\kappa -1)p_{a}/\rho _{a}}}={\sqrt {2/(\kappa -1)}}\;c_{a}}$

Stoßebene

Die Geschwindigkeit der Stoßwelle ergibt sich aus den Erhaltungsgrößen für Masse, Impuls und Energie. Im mit der Stoßfront mitbewegten Bezugssystem ${\displaystyle v=u-u_{\text{Stoß}}}$ verschwinden die zeitlichen Ableitungen:

(1)${\displaystyle \qquad \rho _{c}v_{c}=\rho _{d}v_{d}}$

(2)${\displaystyle \qquad \rho _{c}v_{c}^{2}+p_{c}=\rho _{c}\left(u_{c}^{2}+{\frac {1}{\gamma }}c_{c}^{2}\right)=\rho _{d}\left(u_{d}^{2}+{\frac {1}{\gamma }}c_{d}^{2}\right)}$

(3)${\displaystyle \qquad v_{c}^{2}/2+i_{c}=v_{c}^{2}/2+{\frac {1}{\gamma -1}}c_{c}^{2}=v_{d}^{2}/2+{\frac {1}{\gamma -1}}c_{d}^{2}}$

für ein ideales Gas mit der Gleichung

${\displaystyle \kappa {\frac {p}{\rho }}=c^{2}}$

und der inneren Energie

${\displaystyle i={\frac {\kappa }{\kappa -1}}{\frac {p}{\rho }}}$.

Als quadratische Gleichung existieren zwei Lösungen, die trivialen Lösungen ${\displaystyle u_{c}=u_{d}}$ usw. und Lösungen für den Stoß, die Rankine-Hugoniot-Gleichungen genannt werden.